[논문 리뷰] Holographic $T\bar{T}$ deformed entanglement entropy in dS$_3$/CFT$_2$

Deyou Chen, Xin Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 10.

Black Holes and Theoretical PhysicsPhysics and Astronomy인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $T\bar{T}$-변형된 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 대응을 제안하며, 2차원 구면 상의 반대편에 위치한 두 점 간의 얽힘 엔트로피를 $T\bar{T}$-변형된 2차원 CFT에서 복제 방법을 통해 계산한다. 그 결과는 블랙홀 내부의 복소 지오데식 길이와 정확히 일치하며, 실수부는 시공간적 지오데식에 대응하고 허수부는 시간적 지오데식에 대응하여, 비유니터리 데 시터 홀로그래피에서 의사엔트로피에 대한 정밀한 이중성을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, based on the $T\bar{T}$ deformed version of $ ext{dS}_3/ ext{CFT}_2$ correspondence, we calculate the pseudoentropy for an entangling surface consisting of two antipodal points on a sphere and find it is exactly dual to the complex geodesic in the bulk.

연구 동기 및 목표

• 데 시터 공간에서 양자 중력의 유한한 시간 슬라이스 기술을 가능하게 하기 위해 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 대응을 $T\bar{T}$ 변형으로 확장한다.
• 유한 부피 공간 슬라이스 상의 $T\bar{T}$-변형된 2차원 CFT에서 두 점을 연결하는 표면에 대한 얽힘 엔트로피를 계산한다.
• 결과로 도출된 의사엔트로피가 데 시터 공간의 블랙홀 내부에서 복소 지오데식 길이와 일치하는지 테스트한다. 이는 데 시터 시공간에서 류-타카야나기 공식이 예측하는 바이다.
• 유한한 시간 슬라이스 기하학과 $T\bar{T}$-변형된 CFT 사이의 홀로그래픽 이중성을 수립하며, $\text{AdS}/T\bar{T}$-CFT 대응을 데 시터 공간으로 일반화한다.

제안 방법

• $T\bar{T}$ 변형은 흐름 방정식 $\partial_\lambda \log Z = -2\pi \int_{\Sigma} d^2x \sqrt{\gamma} \langle T\bar{T} \rangle_\lambda$ 를 통해 미분적으로 구현되며, 변형 매개변수 $\lambda \sim \mathcal{O}(1/c)$ 이다.
• 2차원 구면 상의 $T\bar{T}$-변형된 양자장이론의 분할 함수는 웨일-드위트 방정식과 $T\bar{T}$ 흐름을 통해 계산되며, 실수부와 허수부를 모두 포함한 복소 로그 분할 함수를 얻는다.
• 복제 방법을 $n$-겹 커버에 적용하여 메트릭 $ds^2 = r^2(d\theta^2 + n^2 \sin^2\theta \, d\phi^2)$ 를 사용하고, $S_A = (1 - n\partial_n)\log Z_n \big|_{n=1}$ 으로 얽힘 의사엔트로피를 계산한다.
• $\log Z_n$ 이 $n$ 에 대해 변할 때, 그 변화는 스트레스 텐서의 트레이스와 관련되며 $n\partial_n \log Z_n = -\frac{1}{2} \int d^2x \sqrt{\gamma} \, T_a^a = \frac{r}{2} \frac{d}{dr} \log Z_{\text{QFT}}$ 로 표현된다.
• 데 시터 공간 $\text{dS}_3$ 의 메트릭 $ds^2 = -\cosh^2 t \, dt^2 + \ell_{\text{dS}}^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$ 를 사용하여 반대편 점 사이의 블랙홀 지오데식 거리를 계산하여 $D = \ell_{\text{dS}} \pi - 2i \ell_{\text{dS}} t$ 를 도출한다.
• 류-타카야나기 공식을 $S_A = D / (4G_N)$ 에 적용하고, 뉴턴 상수를 $G_N \sim 1/c_{\text{dS}}$ 로 식별함으로써 장 이론 결과와 일치함을 확인한다.

Figure 1: The $T\bar{T}$ -deformed version of the $\text{dS}_{3}$ / $\text{CFT}_{2}$ correspondence, with the Lorentzian time $t$ in the global coordinates of the $\text{dS}_{3}$ spacetime.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $T\bar{T}$-변형된 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 대응이 두 점을 연결하는 표면에 대해 정확한 얽힘 엔트로피를 재현하는가?
• RQ2 비유니터리 $T\bar{T}$-변형된 CFT에서의 의사엔트로피가 $\text{dS}_3$ 내의 복소 지오데식과 홀로그래픽으로 일치하는가?
• RQ3 양식엔트로피의 실수부가 시공간적 지오데식 길이에 비례하고, 허수부가 시간적 지오데식에 대응하는가? 이는 류-타카야나기 규정에 따라 이루어지는가?
• RQ4 $T\bar{T}$ 변형이 데 시터 공간에서 홀로그래픽 얽힘 엔트로피에 어떤 영향을 미치는가? 특히, 유한한 시간 슬라이스 영역에서 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 반대편에 위치한 두 점을 연결하는 $\mathbb{S}^2$ 상에서 $T\bar{T}$-변형된 CFT의 의사엔트로피는 $S_A = \frac{c_{\text{dS}}}{6}\pi - i\frac{c_{\text{dS}}}{3}t$ 이며, 실수부는 시공간적 지오데식에 대응하고 허수부는 시간적 지오데식에 대응한다.
• 같은 시간에 위치한 반대편 점 사이의 블랙홀 지오데식 거리는 $D = \ell_{\text{dS}} \pi - 2i \ell_{\text{dS}} t$ 로 계산되며, $S_A = D / (4G_N)$ 일 때 장 이론 결과와 정확히 일치한다.
• $G_N \sim 1/c_{\text{dS}}$ 를 식별함으로써 $S_A = \frac{c_{\text{dS}}}{6}\pi - i\frac{c_{\text{dS}}}{3}t$ 를 도출하며, 이는 장 이론의 의사엔트로피와 복소 지오데식 길이 사이의 이중성을 확인한다.
• $T\bar{T}$ 변형은 분할 함수에 허수 이동을 도입하며, 이는 얽힘 엔트로피의 복소 구조를 담당하며, 데 시터 공간 내 비유니터리 CFT와 일관된다.
• 결과는 $T\bar{T}$-변형된 $\text{dS}_3/\text{CFT}_2$ 대응이 캐시 슬라이스 홀로그래피와 일관되며, 시간이 반경 방향으로 나타남을 확인한다.
• 복소 지오데식의 구조—하나의 시공간적 지오데식과 두 개의 시간적 지오데식—은 류-타카야나기 공식에서의 극값 표면과 일치하며, 데 시터 공간에서의 홀로그래픽 얽힘 엔트로피를 검증한다.