[논문 리뷰] Hom-Alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan superalgebras

K. Abdaoui, Faouzi Ammar외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 04.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\zeta_2$-중급 일반화를 통해 고전적 대응체의 일반화로 Hom-alternative, Hom-Malcev, 그리고 Hom-Jordan 초대수를 도입하며, 초대수의 교환자와 덧셈 구성 방법을 통해 Hom-alternative 초대수가 Hom-Malcev-가능성과 Hom-Jordan-가능성을 모두 만족함을 증명한다. 또한 Hom-type의 Bruck-Kleinfled 함수의 일반화를 수립하고, 새로운 예시를 생성하는 정리들을 제공하며, Kaplansky와 $D_t$ 초대수로부터 비-자코비안 Hom-Jordan 초대수를 생성한다.

ABSTRACT

Hom-alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan superalgebras are $\mathbb{Z}_{2}$-graded generalizations of Hom-alternative, Hom-Malcev and Hom-Jordan algebras, which are Hom-type generalizations of alternative, Malcev and Jordan algebras. In this paper we prove that Hom-alternative superalgebras are Hom-Malcev-admissible and are also Hom-Jordan-admissible. Home-type generalizations of some well known identities in alternative superalgebras, including the $\mathbb{Z}_{2}$-graded Bruck-Kleinfled function are obtained.

연구 동기 및 목표

• Hom-superalgebra의 이론을 Hom-type 환경으로 확장하기 위해 $\zeta_2$-중급 Hom-대응체를 도입한다.
• Hom-alternative 초대수가 Hom-Malcev-가능성과 Hom-Jordan-가능성을 모두 만족함을 증명하여 고전적 가능성 결과를 일반화한다.
• 기존의 자코비안 초대수에서 유도된 새로운 예시인 비-자코비안 Hom-Jordan 초대수를 생성한다. 이는 3차원 Kaplansky 초대수와 4차원 단순 자코비안 초대수 $D_t$를 이용한다.
• Hom-alternative 초대수의 맥락에서 핵심 항등식, 특히 $\zeta_2$-중급 Bruck-Kleinfled 함수의 Hom-type 일반화를 개발한다.

제안 방법

• Hom-superalgebra를 $(\mathcal{A}, \mu, \alpha)$의 삼중조합으로 정의하며, 짝수 이항 곱 $\mu$와 짝수 선형 변형 사상 $\alpha$를 포함하고, $\alpha \circ \mu = \mu \circ \alpha^{\otimes 2}$ 를 만족시킨다.
• Hom-alternative 초대수를 $\alpha$-변형된 비대칭성과 초대수의 대칭성 조건을 포함한 초대수의 결합 조건을 통해 정의한다.
• Hom-alternative 초대수의 초대수 교환자로부터 Hom-Malcev 초대수를 구성하며, 자기 약한 준동형에 대한 닫힘성을 증명한다.
• Hom-Jordan-가능성을 확립하기 위해 초대수 $\mathcal{A}^+ = (\mathcal{A}, \ast, \alpha)$를 정의하며, $x \ast y = \frac{1}{2}(\mu(x,y) + (-1)^{|x||y|}\mu(y,x))$ 를 사용한다.
• 유도 및 유도된 구성 방법을 사용한다: $\mathcal{A}_\beta = (\mathcal{A}, \mu_\beta, \beta\alpha)$ 와 $\mathcal{A}^n = (\mathcal{A}, \mu^{(n)}, \alpha^{2^n})$ 를 통해 새로운 Hom-가능 초대수를 생성한다.
• 3차원 Kaplansky 초대수와 4차원 $D_t$ 초대수를 사용하여, 매개변수 $a, b, c, t \in \mathbb{K}^*$ 및 $1 + bc \neq 0$ 조건 하에 비-자코비안 Hom-Jordan 초대수의 구체적 예를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hom-alternative 초대수가 Hom-Malcev-가능한가? 만약 그렇다면 초대수의 교환자 구성 방법을 통해 어떻게 증명되는가?
• RQ2 고전적 자코비안-가능성의 결과가 덧셈 구성 방법을 통해 Hom-환경으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 기본적인 항등식, 특히 Bruck-Kleinfled 함수의 Hom-type 일반화와 다른 항등식들은 어떻게 초대수의 가능성 결과를 뒷받침하는가?
• RQ4 기존의 자코비안 초대수에서 변형 사상(트위스트)을 사용하여 비-자코비안 Hom-Jordan 초대수를 구성할 수 있는가?
• RQ5 Hom-superalgebra가 Hom-Jordan-가능하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇이며, 유도 및 유도된 구성 방법이 이 성질을 어떻게 유지하는가?

주요 결과

• Hom-alternative 초대수는 Hom-Malcev-가능하다: 임의의 Hom-alternative 초대수의 초대수 교환자 Hom-superalgebra는 Hom-Malcev 초대수 항등식을 만족한다.
• Hom-alternative 초대수는 Hom-Jordan-가능하다: 임의의 Hom-alternative 초대수의 plus Hom-superalgebra $\mathcal{A}^+$ 는 Hom-Jordan 초대수이다.
• 자기 약한 준동형에 대해 Hom-Malcev 초대수의 범주는 닫혀 있다. 이는 정리 \ref{inducedMALCEV}에 의해 증명되었다.
• Hom-Jordan-가능 초대수의 범주는 $\beta$-유도 및 유도된 구성 방법에 대해 모두 닫혀 있다. 이는 정리 \ref{iduced}와 \ref{admissible}에 의해 증명되었다.
• 3차원 Kaplansky 초대수와 4차원 $D_t$ 초대수에서 유도된 4차원의 구체적 Hom-Jordan 초대수를 구성하였다. 이들은 $1 + bc \neq 0$ 이고 $a \neq 1$ 일 때 자코비안 초대수 항등식을 위반하므로 자코비안 초대수가 아니다.
• Hom-type의 일반화된 $\zeta_2$-중급 Bruck-Kleinfled 함수는 Hom-Malcev-가능성을 증명하는 데 사용되었으며, 고전적 항등식을 Hom-환경으로 확장한다.