[논문 리뷰] Homogenization and asymptotics for small transaction costs: the multidimensional case

Dylan Possamaï, H. Meté Soner외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 26.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점탄성 해법과 동질화 기법을 사용하여 비례 거래비용이 작은 다차원 무한수명 최적 소비-투자 문제에 대한 渐近 전개를 수립한다. 비정상적인 에르고딕 제어 문제에 대한 수정자 해의 존재를 증명하고, 고차원에서는 명시적 해가 없는 체계적인 수정자 방정식을 통해 첫 번째 보정 항을 도출한다.

ABSTRACT

In the context of the multi-dimensional infinite horizon optimal consumption-investment problem with proportional transaction costs, we provide the first order expansion in small transact costs. Similar to the one-dimensional derivation in our accompanying paper [42], the asymptotic expansion is expressed in terms of a singular ergodic control problem, and our arguments are based on the theory of viscosity solutions, and the techniques of homogenization which leads to a system of corrector equations. In contrast with the one-dimensional case, no explicit solution of the first corrector equation is available anymore. Finally, we provide some numerical results which illustrate the structure of the first order optimal controls.

연구 동기 및 목표

• 소규모 거래비용에 대한 1차원 渐近 분석을 다차원 설정으로 확장하기.
• 소규모 거래비용 하에서 가치 함수 전개의 첫 번째 보정 항을 특성화하기.
• 고차원에서 비정상적인 에르고딕 제어 문제에 대한 수정자 해의 존재성과 정칙성을 확립하기.
• 빠른 변수가 초기 진동에서 유래하는 것이 아니라 한계 문제에서 유도되는 동질화 프레임워크를 개발하기.
• 다차원 경우에서 최적 거래 전략의 구조에 대한 수치적 증거 제공하기.

제안 방법

• 에반스의 점탄성 해법을 동질화에 적용하고, 바르레스와 페르타메의 이완한 극한을 결합한다.
• 초기 진동 항을 사전 정의하지 않고, 한계 문제의 최적 전략에 의존하는 빠른 변수를 도입하는 변수 변환을 사용한다.
• 비정상적인 에르고딕 제어 문제와 연결된 수정자 방정식 체계를 유도하며, 이는 단조 추종 문제와 유사하다.
• 하인드(2013, 2014)의 최근 결과를 활용하여 고유값 문제의 해에 대한 존재성과 $C^{1,1}$ 정칙성을 확립한다.
• 비교 원리와 인프-컨볼루션 기법을 활용하여 자유 경계와 이차 정규성 분석하기.
• 균일한 $C^{1,1}$ 추정과 컴팩턴스 추론을 통해 극한에 도달하고, 渐近 영역에서 수정자 구축하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 거래비용이 있는 다차원 최적 소비-투자 문제에 대한 渐近 전개를 엄밀히 유도할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 다수의 리스크 자산과 비례 거래비용이 존재할 경우, 첫 번째 보정 항의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 다차원 설정에서 발생하는 비정상적인 에르고딕 제어 문제에 대해 수정자 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 빠른 변수가 사전에 지정되지 않고 한계 문제의 구조에서 유도될 경우, 동질화 프레임워크는 어떻게 적응하는가?
• RQ5 소비용 극한에서 가치 함수의 정규성 및 이차 도함수의 정규성 특성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 渐近 전개의 첫 번째 보정 항은 동질화 과정에서 유도되는 비정상적인 에르고딕 제어 문제에 의해 특성화된다.
• 고차원에서는 명시적 해가 없더라도 $C^{1,1}$ 유일한 해가 존재하며, 정확한 성장 조건을 만족한다.
• 수정자 함수의 이阶 도함수는 거의 모든 곳에서 유계이며, 유효 영역의 여집합에서는 거의 모든 곳에서 0이 된다.
• 소비용 극한에서 가치 함수의 이차 정규성이 균일하게 유지되어 $C^1_{ ext{loc}}$ 수렴이 가능하다.
• 수치 결과는 첫 번째 보정 최적 제어가 조각별 선형적 구조를 띤다는 것을 보여주며, 이는 이론적 프레임워크와 일치한다.
• 동질화 프레임워크는 초기에 주기적이거나 진동적이지 않은 빠른 변수를 성공적으로 다룰 수 있다.