[논문 리뷰] Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients in ${\mathbb R}^d$: sharpness of the results

Mark Dorodnyi, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 26.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$에서 주기적 계수를 가진 쌍곡형 방정식의 동질화에 대해 날카운 사영 연산자 노름 추정을 수립한다. $H^s \to L^2$ 및 $H^s \to H^1$ 노름에서 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$와 $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$의 근사값을 $\varepsilon$와 $\tau$에 대해 명시적인 오차 한계와 함께 도출한다. 이 추정의 날카움은 연산자 유형과 $\tau$-의존성 측면에서 증명되며, $\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$의 초기값 문제에 적용되어 음향학 및 탄성 이론에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

In $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$, a selfadjoint strongly elliptic second order differential operator ${\mathcal A}_\varepsilon$ is considered. It is assumed that the coefficients of the operator ${\mathcal A}_\varepsilon$ are periodic and depend on ${\mathbf x}/\varepsilon$, where $\varepsilon >0$ is a small parameter. We find approximations for the operators $\cos ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ and ${\mathcal A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ in the norm of operators acting from the Sobolev space $H^s({\mathbb R}^d)$ to $L_2({\mathbb R}^d)$ (with suitable $s$). We also find approximation with corrector for the operator ${\mathcal A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ in the $(H^s o H^1)$-norm. The question about the sharpness of the results with respect to the type of the operator norm and with respect to the dependence of estimates on $τ$ is studied. The results are applied to study the behavior of the solutions of the Cauchy problem for the hyperbolic equation $\partial_τ^2 {\mathbf u}_\varepsilon = - {\mathcal A}_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon + {\mathbf F}$.

연구 동기 및 목표

• 최대한 날카운 연산자 노름 추정을 도출하여 $H^s \to L^2$ 및 $H^s \to H^1$ 연산자 노름에서 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$와 $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$의 근사값을 얻는 것.
• 이 추정의 날카움을 연산자 노름의 유형과 시간 매개변수 $\tau$에 대한 의존성 측면에서 분석하는 것.
• $\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$의 초기값 문제에 결과를 적용하여 해의 수렴 속도를 확립하는 것.
• 특정 물리계열, 예를 들어 음향 방정식과 탄성계를 인수분해된 연산자 형태를 통해 분석으로 확장하는 것.

제안 방법

• 주기적 미분 연산자에 대한 플루에트–블로흐 이론과 해석적 섭동 이론에 기반한 스펙트럼 접근법을 사용한다.
• 인수분해 프레임워크를 활용: $\mathcal{A}_\varepsilon = f^\varepsilon^* b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D}) f^\varepsilon$, 여기서 $g^\varepsilon$는 주기적이고 $f^\varepsilon$는 유계이면서 가역적이다.
• 연산자 이론적 기법을 사용하여 $\varepsilon^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$ 및 $A(t)^{-1/2}\sin(\varepsilon^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$의 근사값을 도출한다.
• 특히 $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$의 $H^1$-노름 근사에서 수렴 속도를 향상시키기 위해 보정항을 도입한다.
• 동질화된 연산자 $\mathcal{A}^0 = b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})$를 통해 효과적 연산자 $\mathcal{A}^0$에 이 방법을 적용하며, 여기서 $g^0$은 $g(\mathbf{x})$의 조화 평균이다.
• 정적 위상 방법과 스펙트럼 투영을 사용하여 $\varepsilon$와 $\tau$에 대한 날카운 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대한 날카운 $H^s \to L^2$ 및 $H^s \to H^1$ 연산자 노름에서 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$와 $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$를 근사할 때의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 $\tau$ 매개변수에 대한 의존성이 연산자 노름의 오차 추정의 날카움에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 유형에 따라 추정의 날카움이 보장되는가? (예: $L^2 \to L^2$ 대비 $H^s \to H^1$)
• RQ4 요구된 오차 추정은 음향 방정식과 탄성계와 같은 물리계에 대해 인수분해된 연산자 구조를 통해 확장 가능한가?
• RQ5 보정항은 $H^1$-노름에서 수렴 속도를 향상시키는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$의 경우, $(H^s \to H^1)$-노름 근사에서 오차 한계는 $0 \leq s \leq 2$에 대해 $\varepsilon^{s/2}(1+|\tau|)^{s/2}$ 순서이며, $s=2$일 때는 $O(\varepsilon)$ 수렴 속도를 얻는다.
• $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$의 $(H^s \to L^2)$-노름 근사에서 오차는 $0 \leq s \leq 2$에 대해 $O(\varepsilon^{s/2}(1+|\tau|)^{s/2})$이다.
• 추정의 날카움이 확인되었으며, 일반적으로 $\varepsilon$-의존성과 $\tau$-의존성이 향상될 수 없다.
• $\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$의 초기값 문제에 대해, 모든 $\tau \in \mathbb{R}$에서 $\varepsilon \to 0$일 때 해 $\mathbf{u}_\varepsilon$는 동질화된 해 $\mathbf{u}_0$로 $L^2$에서 수렴한다.
• 보정항 $\mathbf{v}_\varepsilon = \mathbf{u}_0 + \varepsilon \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) \Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0$을 사용하면, $H^1$-오차는 $C(1+|\tau|)\varepsilon \|\boldsymbol{\psi}_1\|_{H^2}$로 유계지며, $H^2$ 정(regularity) 조건 하에서 $H^1$에서 $O(\varepsilon)$ 수렴 속도를 보여준다.
• 결과는 날카롭게, 주기적 계수의 진동 성격으로 인해 조건이 매끄럽더라도 오차 추정의 $\varepsilon$-의존성은 더 이상 향상될 수 없다.