[논문 리뷰] Homogenization with fractional random fields

Johann Gehringer, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 28.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 41인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 긴 범위 의존성 있는 분수 랜덤 필드에 의해 구동되는 느림-빠름 시스템에 대한 동질화 정리를, 비마르코프성 및 자기유사성 노이즈를 다루기 위해 거친 경로 이론을 사용하여 수립한다. 효과적인 역학은 믹스드 이토 및 얀 적분에 의해 구동되는 거친 미분 방정식으로 기술되며, 강한 호일더 노름에서 거친 경로 위상에서의 강한 기능적 극한 정리에 의해 수렴이 증명된다.

ABSTRACT

We consider a system of differential equations in a fast long range dependent random environment and prove a homogenization theorem involving multiple scaling constants. The effective dynamics solves a rough differential equation, which is `equivalent' to a stochastic equation driven by mixed Itô integrals and Young integrals with respect to Wiener processes and Hermite processes. Lacking other tools we use the rough path theory for proving the convergence, our main technical endeavour is on obtaining an enhanced scaling limit theorem for path integrals (Functional CLT and non-CLT's) in a strong topology, the rough path topology, which is given by a Hölder distance for stochastic processes and their lifts. In dimension one we also include the negatively correlated case, for the second order / kinetic fractional BM model we also bound the error.

연구 동기 및 목표

• 긴 범위 의존성, 비마르코프성 노이즈, 특히 분수 브라운 운동과 에르미트 과정을 포함한 시스템에서의 동질화 문제를 다루기 위해.
• 기존의 혼합성 또는 마르코프 환경을 초월하여 허스트 지수 H > 1/2인 긴 범위 의존성 있는 랜덤 필드를 포함한 고전적 동질화 이론을 확장하기 위해.
• 다중 스케일링 상수 하에서 경로 적분에 대한 거친 경로 위상에서의 기능적 극한 정리를 개발하기 위해.
• 효과적인 역학을 믹스드 이토 및 얀 적분에 의해 구동되는 거친 미분 방정식으로 특성화하기 위해.
• 일차원 및 다차원 시스템 모두에서 거친 경로 위상에서의 수렴을 확립하고, 운동학적 분수 브라운 운동 모델에서 오차 한계를 제공하기 위해.

제안 방법

• 분수 브라운 운동과 그 적분의 비반마르코프성 특성을 다루기 위해 거친 경로 이론을 활용한다.
• 경로 및 그 리프트에 대한 호일더 노름으로 정의된 거친 경로 위상에서, 강화된 스케일링 극한 정리(기능적 중심극한정리 및 비-중심극한정리)를 적용한다.
• 분수 오르누이엔-울렌벡 과정의 모멘트 한계 및 조건부 적분 가능성을 도출하기 위해 말리아빈 미적분 프레임워크를 사용한다.
• 오르누이엔-울렌벡 연산자를 통한 발산적 적분과 스코로호드 적분 간의 이중성을 활용하여 동질화 극한에서의 교차항을 제어한다.
• 스케일링 경로 적분의 커널 수렴성과 점차적 독립성을 통해 공동 수렴 결과를 적용한다.
• 거친 경로 리프트에서 반복 적분의 극한을 식별함으로써 효과적인 역학을 도출하며, 이는 이토 및 얀 적분에 의해 구동되는 믹스드 스트로크 방정식으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H > 1/2인 긴 범위 의존성 있는 분수 노이즈에 의해 구동되는 느림-빠름 시스템에서 동질화의 거동은 어떻게 되는가?
• RQ2 빠른 환경이 긴 범위 의존성을 갖는 분수 오르누이엔-울렌벡 과정일 경우, 극한 효과적인 역학은 무엇인가?
• RQ3 비마르코프성 및 자기유사성 과정에 의해 구동되는 경로 적분에 대해 거친 경로 이론을 사용하여 거친 경로 위상에서의 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ4 노이즈에 웨이너 과정과 에르미트 과정이 모두 포함될 경우, 효과적인 방정식의 구조는 어떠한가?
• RQ5 긴 범위 의존성 필드를 갖는 다중 스케일링 시스템에서 스케일링 상수가 동질화 극한에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 효과적인 역학은 웨이너 과정과 에르미트 과정에 대한 믹스드 이토 및 얀 적분에 의해 구동되는 거친 미분 방정식이다.
• 강한 호일더 노름 하에서 거친 경로 위상에서 느린 과정의 효과적 역학으로의 수렴이 증명되었으며, 이는 경로 기반 수렴을 보장한다.
• 일차원에서는 양의 상관과 음의 상관 모두에 대해 동질화 결과가 성립하며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 두 번째 차수/운동학적 분수 브라운 운동 모델의 경우, 논문은 동질화 근사에 대한 명시적 오차 한계를 제공한다.
• 경로 적분에 대한 강화된 기능적 극한 정리는 거친 경로 위상에서 확립되었으며, 반복 적분의 유계성은 모멘트 한계를 통해 증명되었다.
• 점차적 독립성 하에서 거친 경로 리프트의 공동 수렴이 달성되었으며, 극한 과정은 독립적인 웨이너 과정과 에르미트 과정의 곱으로서 나타난다.