[논문 리뷰] Homological methods in semi-infinite contexts

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 39인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 반무한적 맥락에서 호모로지적 방법을 개발하며, 특히 DG 범주 위의 군 작용을 루프 군과 아핀 리 대수로 확장한다. 무한차원 인드스킴 위의 인도코herent 층, 군 인드스킴의 약한 작용, 그리고 모듈러 특성에 의한 반무한 코homology의 새로운 구성 방식을 도입하며, 최종적으로 임계 수준 카크-무디 표현의 유도 범주가 루프 군과 그 중심 양쪽에서 대muting 작용을 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Actions of algebraic groups on DG categories provide a convenient, unifying framework in some parts of geometric representation theory, especially the representation theory of reductive Lie algebras. We extend this theory to loop groups and affine Lie algebras, extending previous work of Beraldo, Gaitsgory and the author. Along the way, we introduce some subjects of independent interest: ind-coherent sheaves of infinite type indschemes, topological DG algebras, and weak actions of group indschemes on categories. We also present a new construction of semi-infinite cohomology for affine Lie algebras, based on a modular character for loop groups. As an application of our methods, we establish an important technical result for Kac-Moody representations at the critical level, showing that the appropriate ("renormalized") derived category of representations admits a large class of symmetries coming from the adjoint action of the loop group and from the center of the enveloping algebra.

연구 동기 및 목표

• 반무한적 맥락에서 재구성 군의 작용 이론을 재구성 군에서 루프 군과 아핀 리 대수로 확장하는 것.
• 루프 군의 맥락에서 하리시-찬드라 자료의 프레임워크를 개발하며, 무한차원 맥락에서 고유한 미세한 기술적 조건을 다루는 것.
• 루프 군 $G(K)$의 모듈러 특성을 사용하여 아핀 리 대수에 대한 반무한 코homology를 구성하는 것.
• 유도 범주가 임계 수준 카크-무디 표현에서 루프 군과 그 중심 양쪽에서 대muting 작용을 갖는다는 것을 새로운 분류적 프레임워크를 통해 확립하는 것.
• 국소 기하학적 랑글랜드스의 힌트 기반 구성, 예를 들어 아벨 경우의 양자 국소 랑글랜드스 이중모듈러를 완성하기 위한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 합리적인 인드스킴 위의 인도코herent 층을 도입한다—유한 필터링 합집합으로서, 거의 유한형 닫힌 포함이 있는 콤���, 준콤팩트, 최종적으로 연결된 스킴의 조합.
• 합리적인 인드스킴 $S$에 대해 $ ext{IndCoh}^*(S)$에 $t$-구조를 정의하며, $t$-정확한 전이와 컴팩트 생성성을 보장한다.
• DG 범주 위의 군 인드스킴에 대한 약한 작용 이론을 개발하며, 고차 범주적 맥락에서의 엄밀한 군 작용을 일반화한다.
• 루프 군 $G(K)$의 모듈러 특성을 사용하여 아핀 리 대수에 대한 반무한 코homology의 새로운 형태를 구성한다.
• 칸 확장과 좌수반 함자들을 사용하여 $ ext{IndCoh}^*$를 스킴에서 수렴하는 프리패스트로 확장하며, $t$-구조와 컴팩트 객체를 유지한다.
• 이론을 적용하여 $ ext{Rep}_{ ext{crit}}( ilde{rak{g}})$가 피진-프레넬 동형을 통해 $G(K)$와 중심 ${rak{Z}}$의 대muting 작용을 갖는다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 반무한 맥락에서 재구성 군의 작용 이론을 루프 군으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 루프 군 $G(K)$의 무한차원 성격을 고려할 때, DG 범주 위에 $G(K)$-작용을 정의하기 위한 하리시-찬드라 자료의 적절한 조건은 무엇인가?
• RQ3 루프 군의 모듈러 특성을 사용하여 아핀 리 대수에 대한 반무한 코homology를 구성할 수 있는가?
• RQ4 중심 ${rak{Z}}$와 루프 군 $G(K)$는 임계 수준 카크-무디 표현의 유도 범주에 어떻게 작용하며, 이러한 작용은 상호 호환되는가?
• RQ5 기존에 힌트 기반의 하리시-찬드라 자료에 의존했던, 아벨 경우의 국소 랑글랜드스 이중모듈러의 힌트 기반 구성은 이 새로운 프레임워크를 통해 완성될 수 있는가?

주요 결과

• 임계 수준 카크-무디 표현의 유도 범주는 루프 군 $G(K)$의 잘 정의된 작용을 갖으며, 이는 이전의 기하적 구성들을 확장한다.
• 완비화된 에너지 대수 $U( ilde{rak{g}}_{ ext{crit}})$의 중심 ${rak{Z}}$는 동일한 범주에 작용하며, $G(K)$-작용과 대muting한다.
• 피진-프레넬 동형은 $ ext{Spf}({rak{Z}})$를 구멍이 난 원판 위의 $ ilde{G}$-오퍼스의 인드스킴과 동치로 식별하며, 중심의 기하학적 해석을 제공한다.
• 루프 군 $G(K)$의 모듈러 특성을 사용하여 아핀 리 대수에 대한 반무한 코homology의 새로운 구성이 달성되었으며, 고전적 접근을 일반화한다.
• 합리적인 인드스킴 위의 인도코herent 층 이론은 표준 $t$-구조와 컴팩트 생성성을 갖는다. 이는 무한차원 기하학에서 호모로지적 방법을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크를 통해 이전에 힌트 기반의 하리시-찬드라 자료에 의존했던 양자 국소 랑글랜드스 추측의 아벨 경우가 완성된다.