[논문 리뷰] Homology and homotopy in semi-abelian categories

Tim Van der Linden|ArXiv.org|2006. 07. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비아벨 호몰로지와 호모토피 이론을 통합하는 프레임워크로 준아벨 범주를 설정하며, 헉프의 공식과 호흐실트-세르 수열과 같은 고전적 결과를 일반화한다. 준아벨 범주에서 단순체의 호몰로지와 내부 범주론적 호몰로지가 잘 정의되어 있음을 보이며, 장점분할 호몰로지 수열과 코ци린더 구성에 의한 내부 단순체 호모토피 관계가 외부 호모토피가 대칭이 아닐 때조차 동치관계를 이룬다.

ABSTRACT

The theory of abelian categories proved very useful, providing an axiomatic framework for homology and cohomology of modules over a ring and, in particular, of abelian groups. For many years, a similar categorical framework has been lacking for non-abelian (co)homology, the subject of which includes the categories of non-abelian groups, of rings, Lie algebras, etc. The notion of semi-abelian category due to Janelidze, Marki and Tholen allows a unified study of many important homological properties of such categories. For instance, in any semi-abelian category, the classical diagram lemmas (the Short Five Lemma, the 3x3 Lemma, the Snake Lemma, Noether's Isomorphism Theorems) hold. The point of this thesis is, that the semi-abelian framework is indeed perfectly suited for the study of non-abelian (co)homology and the corresponding homotopy theory. It describes the foundations for a categorical homology theory that unifies many basic aspects of the classical (co)homology theories of e.g., groups, Lie algebras and crossed modules. Starting from homology of (proper) chain complexes and of simplicial objects, a semi-abelian version of Barr-Beck cotriple homology is introduced. A systematic study of the theory of Baer invariants in this context yields categorical versions of Hopf's formula (describing the second homology object in terms of commutators) and the Stallings-Stammbach sequence. We obtain a Universal Coefficient Theorem, a version of the Hochschild-Serre sequence, and an interpretation of the second cohomology group in terms of isomorphism classes of central extensions. Also, Quillen model category structures for homotopy of simplicial objects and internal categories are studied, and are shown to be compatible with the respective semi-abelian notions of homology.

연구 동기 및 목표

• 아벨 범주를 초월한 비아벨 (코)호몰로지의 범주론적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 준아벨 범주—지정된, 바르 정확한, 부른 프로토모듈러, 이진 합이 있는—가 잘 정의된 호몰로지 이론을 지원함을 보여주기 위해.
• 허프의 공식과 호흐실트-세르 수열과 같은 고전적 결과를 준아벨 맥락으로 일반화하기 위해.
• 준아벨 범주에서 단순체 호모토피의 행동을 조사하기 위해, 특히 군과 같은 범주에서 외부 호모토피가 대칭이 아닐 때의 실패를 다루기 위해.
• 코시린더를 통한 내부 호모토피가 외부 호모토피가 실패하더라도 동치관계를 이룬다는 것을 확립하기 위해.

제안 방법

• 핵심-이미지 조건을 통해 사슬 복합체의 개념을 준지정된, 정확한, 프로토모듈러 범주로 확장한다.
• 모어 복합체 구성법을 사용하여, 말츠레프 범주에서의 모든 단순체 객체에 대해 적절한 사슬 복합체를 부여한다.
• 교환자 이론과 베어 불변량을 적용하여 헉프의 공식과 스탤링스-스타무바 수열의 일반화된 형태를 구성한다.
• 정규 말츠레프 범주에서 이미지 분해를 사용하여 단순체 객체에 대한 코시린더 함자를 도입함으로써 내부 호모토피를 정의한다.
• 면 맵의 공등화를 통해 내부 호모토피를 특성화하며, ∂0,…,∂n+1의 광범위한 공등화를 사용하여 ≃K 가 동치관계임을 보인다.
• 준아벨 범주에서 내부 호모토피 ≃K 가 호몰로지 동치관계와 일치함을 보이며, 이를 η0(B)◦f0 = η0(B)◦g0 를 통해 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 호몰로지는 아벨 범주를 초월한 범주론적 프레임워크에서 체계적으로 발전시킬 수 있는가?
• RQ2 외부 호모토피가 실패할 때조차 준아벨 범주에서 내부 단순체 호모토피 관계 ≃K 는 동치관계를 이룬다?
• RQ3 허프의 공식과 호흐실트-세르 수열과 같은 고전적 결과는 준아벨 범주로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 모어 복합체 구성법은 준아벨 범주에서 어떻게 행동하며, 호몰로지에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ5 준아벨 범주에서 내부 호모토피 ≃K 와 호몰로지 동치관계 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 준아벨 범주에서 코시린더를 통해 정의된 내부 호모토피 관계 ≃K 는 외부 단순체 호모토피가 대칭이 아닐 때조차 동치관계이다.
• 정규 말츠레프 범주에서 임의의 단순체 사상 f, g 에 대해 f ≃K g 이다 ⇔ η(B) ◦ f = η(B) ◦ g 이다. 여기서 η 는 면 맵의 공등화이다.
• 준아벨 범주에서 f ≃K g 이다 ⇔ H0f = H0g 이다. 이는 0차 차수에서 호모토피 동치관계와 호몰로지 동치관계를 연결한다.
• 준지정된 정확한 말츠레프 범주에서 단순체 객체의 모어 복합체는 항상 적절한 사슬 복합체이다.
• 범주가 프로토모듈러일 때, 정규화 함자 N: SA → PCh+A 는 정확하며, 따라서 단순체 객체의 짧은 정확한 수열이 장점분할 호몰로지 수열을 유도한다.
• 실제로 내부 호모토피 관계 ≃K 는 너무 약하여, 변의 끝점을 식별하면 전체 단순체 구조가 붕괴한다.