[논문 리뷰] Homotopically discrete higher categorical structures

Simona Paoli|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 0형을 위한 고차 범주론적 모델로 호모토피적으로 이산적인 $n$-중 범주를 제안하며, 두 가지 동치된 기술 방식을 제공한다: 반복된 넷을 사용하는 시겔 유형 모델과 반복된 내부 동치 관계를 통한 기술이다. 주요 기여는 이러한 두 기술 방식이 범주론적으로 동치임을 증명한 것으로, 약간의 구조를 갖춘 고차 범주론의 기초를 확립한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of homotopically discrete n-fold category as an n-fold generalization of a groupoid with no non-trivial loops. We give two equivalent descriptions of this structure: in terms of a Segal-type model and in terms of iterated internal equivalence relations. We also show that homotopically discrete n-fold categories form an n-fold categorical model of 0-types.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 고리가 없는 군oids의 고차 범주론적 일반화로서 호모토피적으로 이산적인 $n$-중 범주를 정의하고 특성화하는 것.
• 두 가지 동치된 기술 방식을 확립하는 것: 하나는 반복된 넷을 사용하는 시겔 유형 모델에 기반하고, 다른 하나는 반복된 내부 동치 관계에 기반한다.
• 이 구조들이 호모토피 이론에서 0형을 모델링한다는 것을 보여주는 것으로, 고차 차원에서 이산 집합의 일반화이다.
• 약간의 구조를 갖춘 $n$-중 범주론의 기초를 제공함으로써, 약간의 구조를 갖춘 고차 범주론의 새로운 모델을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 정의는 귀납적으로 구성된다: 호모토피적으로 이산적인 $n$-중 범주는 호모토피적으로 이산적인 $(n-1)$-중 범주들의 단순형 대상이다.
• 시겔 유형 모델은 넷 함자 $J_n: \text{Cat}_{\text{hd}}^n \to [\triangle^{n-1^{\text{op}}}, \text{Cat}]$를 통해 구축되며, 이는 각 수준에서 동치 관계이다.
• 두 번째 기술은 $n$-중 범주에서의 반복된 내부 동치 관계를 사용한다. 이는 $\mathsf{EqRel}^n$으로 표기되며, 각 수준에서 동치 관계이다.
• n-동치는 전부 충실하고 본질적으로 전성인 함자들의 고차원 일반화로 정의되며, 이산 모델의 동형으로 특성화된다.
• 두 기술 방식 간의 동치성 증명은 $n$에 대한 귀납법에 기반한다. $X$가 $\text{Cat}_{\text{hd}}^n$에 속해 있을 때 $p^{(n)}X$와 $X_s$가 $\text{Cat}_{\text{hd}}^{n-1}$에 속하고, $f_{\underline{s}}$가 전사임을 이용한다.
• 모든 $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$이 $X = (\xi_n X)_0[f_{n}X]$ 형태로 나타나며 $f_{n}X$가 전사임을 보여, $\mathsf{EqRel}^n \cong \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$의 동치를 확립한다. 그 반대도 마찬가지로 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모토피적으로 이산적인 구조의 개념을 군oids에서 $n$-중 범주로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 호모토피적으로 이산적인 $n$-중 범주에 대한 두 가지 동치된 기술 방식은 무엇이며, 상호 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 호모토피적으로 이산적인 $n$-중 범주가 고차 범주론에서 0형의 모델로 기능할 수 있는가?
• RQ4 이 구조는 향후 작업에서 약간의 구조를 갖춘 $n$-중 범주론의 구축을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 호모토피적으로 이산적인 $n$-중 범주가 반복된 내부 동치 관계로 구성된 $n$-중 범주와 동치임이 입증되어 $\mathsf{EqRel}^n \cong \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$이 성립한다.
• 모든 호모토피적으로 이산적인 $n$-중 범주 $X$는 이산적인 $n$-중 범주 $X^d$로의 이산화 사상 $d: X \to X^d$를 통해 $n$-동치임을 보여, 고차 차원에서 호모토피적으로 자명함을 나타낸다.
• 넷 함자 $J_n$은 $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$을 각 수준에서 동치 관계로 매핑함으로써, 시겔 유형 모델의 구조를 확인한다.
• $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$에 대해 유도된 시겔 사상은 $(n-1)$-동치임을 보여, 고차 범주론적 의미에서 시겔 조건을 확인한다.
• 이 구조는 $p^{(n)}$-구성에 대해 닫혀 있다: $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$이면 $p^{(n)}X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^{n-1}$이 되며, 이는 차원 간 일관성을 보장한다.
• 이산 모델의 동형으로 특성화된 $n$-동치의 특성은 이 범주에서 동치성을 판단하는 실용적인 기준을 제공한다.