[논문 리뷰] Homotopy algebras and noncommutative geometry

Alastair Hamilton, Andrey Lazarev|Bristol Research (University of Bristol)|2004. 10. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 42인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 $C_{\nu}$-대수의 Hochschild 및 순환 코homology에 대해 Hodge 분해를 수립하며, 고전적 결과를 일반화하고, 코homology에 Frobenius 구조를 가진 단위를 가진 $C_{\nu}$-대수는 유일하게 대칭형 $C_{\nu}$-대수로 확장된다는 것을 증명한다—이는 교환 법칙을 가진 Frobenius 대수의 $\infty$-일반화이다. 이 프레임워크를 통해 Poincaré 이중성 공간의 호모토피 불변 성질을 가진 스트링 토폴로지 연산을 정의할 수 있다.

ABSTRACT

We study cohomology theories of strongly homotopy algebras, namely $A_\infty, C_\infty$ and $L_\infty$-algebras and establish the Hodge decomposition of Hochschild and cyclic cohomology of $C_\infty$-algebras thus generalising previous work by Loday and Gerstenhaber-Schack. These results are then used to show that a $C_\infty$-algebra with an invariant inner product on its cohomology can be uniquely extended to a symplectic $C_\infty$-algebra (an $\infty$-generalisation of a commutative Frobenius algebra introduced by Kontsevich). As another application, we show that the `string topology' operations (the loop product, the loop bracket and the string bracket) are homotopy invariant and can be defined on the homology or equivariant homology of an arbitrary Poincare duality space.

연구 동기 및 목표

• Hochschild 및 순환 코homology의 Hodge 분해를 $C_{\nu}$-대수로 일반화하여 Loday와 Gerstenhaber-Schack의 이전 작업을 확장한다.
• 코homology에 대한 불변 내적을 가진 $C_{\nu}$-대수와 대칭형 $C_{\nu}$-대수 사이의 대응 관계를 수립한다.
• 스트링 토폴로지 연산(루프 곱, 루프 괄호, 스트링 괄호)이 호모토피 불변이며, 임의의 Poincaré 이중성 공간의 호모로지에 대해 정의 가능하다는 것을 보인다.
• 대칭형 $C_n$-구조와 사상의 올림을 위한 오차 이론을 개발하여 주 정리의 구성에 기여한다.

제안 방법

• ∞-대수를 호모로지 벡터장이 있는 형식적 초다양체로 정의하는 기하적 정의를 사용한다.
• 형식적 비가환 미분기하학을 적용하여 $A_{\infty}$, $C_{\infty}$, $L_{\infty}$-대수의 코homology 이론을 분석한다.
• 이전의 조합적 방법을 단순화하는 기하적 접근을 통해 Hochschild 및 순환 코homology의 Hodge 분해를 도출한다.
• 스펙트럴 시퀀스와 코homology의 소멸 조건을 사용하여 $C_n$-대수의 구조와 사상에 대한 오차 이론을 구축한다.
• Hodge 분해와 오차 이론을 활용하여, Frobenius 코hom로지 스타일을 가진 $C_{\nu}$-대수가 호모토피에 대해 유일하게 대칭형 $C_{\nu}$-구조로 확장된다는 것을 증명한다.
• 얻어진 대칭형 $C_{\nu}$-구조를 활용하여, 유리수 Poincaré 이중성 공간의 호모로지에 대해 호모토피 불변성에 기반한 스트링 토폴로지 연산을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hochschild 및 순환 코homology의 Hodge 분해는 엄격한 교환 법칙 대수를 초월하여 $C_{\nu}$-대수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 코homology에 대한 불변 내적을 가진 $C_{\nu}$-대수가 유일하게 대칭형 $C_{\nu}$-대수로 확장되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 루프 곱과 루프 괄호와 같은 스트링 토폴로지 연산은 호모토피 불변이며, 임의의 Poincaré 이중성 공간의 호모로지에 대해 정의 가능한가?
• RQ4 대칭형 $C_n$-대수의 구조가 $C_{\nu}$-대수에서 존재하고 유일한지를 규정하는 오차 이론은 무엇인가?
• RQ5 대칭형 $C_{\nu}$-대수와 관련된 그래프 호모로지 클래스는 기저가 되는 $C_{\nu}$-대수와 그 코homology 내적에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• Hochschild 및 순환 코homology의 Hodge 분해는 $C_{\nu}$-대수에 대해 수립되었으며, 비단위 경우까지 포함하여 이전 결과를 일반화한다.
• 코homology에 Frobenius 구조를 가진 단위를 가진 $C_{\nu}$-대수는 호모토피에 대해 유일한 대칭형 $C_{\nu}$-대수와 약한 동치이다.
• 유리수 Poincaré 이중성 공간의 코체인 대수는 대칭형 $C_{\nu}$-대수와 약한 동치이며, 이는 호모토피 불변 스트링 토폴로지 연산의 가능성을 제공한다.
• 스트링 토폴로지 연산—루프 곱, 루프 괄호, 스트링 괄호—는 호모토피 불변이며, 임의의 Poincaré 이중성 공간의 호모로지 또는 등변 호모로지에 대해 정의 가능하다.
• 대칭형 $C_{\nu}$-대수와 관련된 그래프 호모로지 클래스는 기저가 되는 $C_{\nu}$-대수의 호모토피 유형과 그 코homology 내적에만 의존한다.
• C_n-대수의 구조와 사상에 대한 오차 이론이 개발되었으며, 주 대응 정리의 증명에 사용되었다.