[논문 리뷰] Homotopy Batalin-Vilkovisky algebras

Imma Gálvez-Carrillo, Andrew Tonks외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 13.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 45인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 이중 제곱 및 선형 관계를 가진 작도에 대해 확장된 코즐 다중성 이론을 사용하여 Batalin–Vilkovisky (BV) 대수를 묘사하는 작도의 명시적 코프리프레임 리졸루션을 구축한다. 이 리졸루션은 호모토피 BV-대수의 구조를 제공하며, 이는 호모로지 수준에서의 BV-대수의 구조를 올리는 데에 사용되며, 변형 이론, 차단 이론, 순환 Deligne 추측의 검증을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper provides an explicit cofibrant resolution of the operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras. Thus it defines the notion of homotopy Batalin-Vilkovisky algebras with the required homotopy properties. To define this resolution we extend the theory of Koszul duality to operads and properads that are defind by quadratic and linear relations. The operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras is shown to be Koszul in this sense. This allows us to prove a Poincare-Birkhoff-Witt Theorem for such an operad and to give an explicit small quasi-free resolution for it. This particular resolution enables us to describe the deformation theory and homotopy theory of BV-algebras and of homotopy BV-algebras. We show that any topological conformal field theory carries a homotopy BV-algebra structure which lifts the BV-algebra structure on homology. The same result is proved for the singular chain complex of the double loop space of a topological space endowed with an action of the circle. We also prove the cyclic Deligne conjecture with this cofibrant resolution of the operad BV. We develop the general obstruction theory for algebras over the Koszul resolution of a properad and apply it to extend a conjecture of Lian-Zuckerman, showing that certain vertex algebras have an explicit homotopy BV-algebra structure.

연구 동기 및 목표

• 수학적 물리학과 위상수학에서 핵심적인 역할을 하지만 코프리프레임 리졸루션을 갖추지 못한 Batalin–Vilkovisky 대수에 대한 호모토피 이론을 개발하기 위해.
• 이중 제곱 및 선형 관계로 정의된 작도에 대해 코즐 다중성 이론을 확장하여 BV 작도의 리졸루션을 가능하게 하기 위해.
• BV 작도의 명시적이고 작은 쿼어드프리 리졸루션을 구축하여, 올바른 호모토피 성질을 갖춘 호모토피 BV-대수를 정의하기 위해.
• 위상적 순환 장이나 원환면을 갖는 이중 루프 공간이 그 호모로지 수준에서의 BV-대수의 구조를 올리는 호모토피 BV-대수의 구조를 지닌다는 것을 증명하기 위해.
• 리졸루션을 사용하여 호모토피 BV-대수의 변형 이론과 차단 이론을 수립하고, 순환 Deligne 추측을 검증하기 위해.

제안 방법

• 이중 제곱 및 선형 관계를 가진 작도에 대해 비균일 코즐 다중성 이론을 확장하여, BV 작도가 이 일반화된 의미에서 코즐이라고 증명한다.
• 상대적 순서 $[n]$를 통해 $sV_1$ 생성자 수를 추적하는 등급을 갖는 그룹화된 코프로퍼드 $\mathscr{P}^{\scriptstyle\text{\rm!`}}$를 코프로퍼드로 구성한다.
• 호모토피 BV-대수를 코프리프레임 리졸루션 $\mathscr{BV}^\text{!`}$를 통해 정의하여, 이들의 구조에 대해 네 가지 등가 정의를 제공한다.
• 상대적 순서를 갖는 $\mathfrak{g} = \mathrm{Hom}_{\mathbb{S}}(\mathscr{BV}^{\scriptstyle\text{\rm!`}}, \mathrm{End}_A)$의 복합체 리 대수를 사용하여 변형 이론과 차단 이론을 묘사한다.
• 복합체 $\gamma = \gamma_0 + \gamma_1 + \cdots$를 갖는 $\mathfrak{g}$에서 마우러–카르탕 방정식을 적용하며, $\gamma_0$는 호모토피 $\mathscr{P}_0$-대수의 구조이다.
• 프레임드 리틀 디스크 작도의 형식성과 리졸루션의 코프리프레임 성질을 활용하여, 임의의 위상적 순환 장이나 $S^1$-행동을 갖는 이중 루프 공간이 호모토피 BV-대수의 구조를 지닌다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Batalin–Vilkovisky 대수를 묘사하는 작도에 대해 코프리프레임 리졸루션을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이중 제곱 및 선형 관계를 가진 작도에 대해 확장된 코즐 다중성 이론이 Poincaré–Birkhoff–Witt 정리와 작은 리졸루션을 가능하게 하는가?
• RQ3 위상적 순환 장이나 이중 루프 공간의 호모로지에서 유도된 호모토피 BV-대수의 구조를 체인 복합체로 올릴 수 있는가?
• RQ4 코프리프레임 리졸루션을 사용할 때 순환 Deligne 추측이 성립하는가?
• RQ5 호모토피 BV-대수의 변형 이론과 차단 이론은 무엇이며, 이를 복합체 리 대수를 통해 어떻게 묘사할 수 있는가?

주요 결과

• Batalin–Vilkovisky 대수를 묘사하는 작도 $\mathscr{BV}$ 는 이중 제곱-선형 관계의 일반화된 의미에서 코즐임이 입증되었으며, 이는 코프리프레임 리졸루션을 가능하게 한다.
• 명시적이고 작은 쿼어드프리 리졸루션을 $\mathscr{BV}$ 에 대해 구성하여, 올바른 호모토피 성질을 갖는 호모토피 BV-대수의 개념적 정의를 제공한다.
• Poincaré–Birkhoff–Witt 정리는 $\mathscr{BV}$ 작도에 대해 성립하며, 그 보편 포괄 대수의 구조적 성질을 확인한다.
• 모든 위상적 순환 장은 그 호모로지 수준에서의 BV-대수의 구조를 올리는 호모토피 BV-대수의 구조를 지닌다.
• $S^1$-행동을 갖는 위상공간의 이중 루프 공간은 그 호모로지 수준에서의 BV-대수의 구조를 올리는 호모토피 BV-대수의 구조를 지닌다.
• 코프리프레임 리졸루션을 사용하여 순환 Deligne 추측을 증명하였으며, 프로베누스 대수의 호흐시ลด어 코호호모로지 복합체가 호모토피 BV-대수의 구조를 갖는다는 것을 보였다.