[논문 리뷰] Homotopy groups of ascending unions of infinite-dimensional manifolds

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 오름차순으로 연결된 무한차원 다성분다양체(또는 리군)의 호모토플룹이 구성 다성분다양체의 호모토플룹의 직접극한과 동형임을 보장하는 조건을 수립한다. 약한 직접극한 차트와 컴팩트 정규성 조건을 사용하여, 모든 k ∈ ℕ₀ 및 p ∈ M에 대해 πₖ(M,p) ≅ lim→ πₖ(Mₙ,p)임을 증명함으로써, 유한차원 근사에 의한 무한차원 리이론에서의 호모토플룹 계산이 가능해진다.

ABSTRACT

Let M be a topological manifold modelled on topological vector spaces, which is the union of an ascending sequence of such manifolds M_n. We formulate a mild condition ensuring that the k-th homotopy group of M is the direct limit of the k-th homotopy groups of the steps M_n, for each non-negative integer k. This result is useful for Lie theory, because many important examples of infinite-dimensional Lie groups G can be expressed as ascending unions of finite- or infinite-dimensional Lie groups (whose homotopy groups may be easier to access). Information on the k-th homotopy groups of G, for k=0, k=1 and k=2, is needed to understand the Lie group extensions of G with abelian kernels. The above conclusion remains valid if the union of the steps M_n is merely dense in M (under suitable hypotheses). Also, ascending unions can be replaced by (possibly uncountable) directed unions.

연구 동기 및 목표

• 오름차순으로 연결된 무한차원 다성분다양체의 호모토플룹이 하위다성분다양체의 호모토플룹의 직접극한과 동형이 되는 충분한 조건을 수립하기 위해.
• 국소볼록 공간의 조밀한 부분공간에 대한 펠라이스의 고전적 결과를 비선형적인 다성분다양체와 리군의 맥락으로 확장하기 위해.
• 유한차원 또는 무한차원 리군의 방향합집합으로 표현되는 무한차원 리군의 호모토플룹을 계산하기 위한 일반적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 적절한 정규성 조건 하에서, 조밀한 리군의 합집합에서 그 극한으로의 포함사상이 약한 호모토플룹 동치임을 보여주기 위해.
• 예를 들어, 미분동형사상군과 컴팩트 또는 가중치가 부여된 매끄러운 구조를 가진 함수공간과 같은 구체적인 예에 결과를 적용하기 위해.

제안 방법

• 직접극한의 극한 다성분다양체와 하위다성분다양체의 차트 간의 호환성을 보장하는 약한 직접극한 차트의 개념을 도입한다. 이는 연속 선형사상에 의해 구현된다.
• 다성분다양체의 각 점이 약한 직접극한 차트를 갖는 조건을 사용하여, 포함사상이 모든 호모토플룹에 대해 동형을 유도함을 보장한다.
• 컴팩트 정규성(또는 컴팩트 리트랙티비티)의 개념을 적용하여, 극한 다성분다양체 내의 컴팩트 집합이 어떤 하위다성분다양체에 포함됨을 보장함으로써, 호모토플룹 끌기 제어를 가능하게 한다.
• 지배적인 인덱스 집합 Aₚ = {α ∈ A : p ∈ Mₐ} 위에서의 코한계 구조 lim→ πₖ(Mₙ,p)를 통한 호모토플룹의 직접극한 구조를 활용한다.
• 중요한 예시들—예를 들어 가중치가 부여된 미분동형사상군과 컴팩트 지지가 있는 매끄러운 함수공간—에서 주요 정리의 조건이 충족됨을 검증한다.
• 만일 Mₙ ⊆ M가 연속적 포함관계이고 Mₙ가 다성분다양체라면, 약한 직접극한 차트와 컴팩트 정규성 조건 하에서 πₖ(M) ≅ lim→ πₖ(Mₙ)가 성립함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오름차순으로 연결된 무한차원 다성분다양체의 극한으로의 포함사상이 모든 호모토플룹에 대해 동형을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 국소볼록 공간의 조밀한 부분공간에 대한 펠라이스의 정리가 비선형적인 다성분다양체와 리군의 맥락으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 유한차원 또는 무한차원 리군의 방향합집합으로 표현되는 무한차원 리군의 호모토플룹은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 어떤 구조적 조건(예: 약한 직접극한 차트, 컴팩트 정규성)이 하위다성분다양체의 호모토플룹의 직접극한이 전체 다성분다양체의 호모토플룹을 복원하도록 보장하는가?
• RQ5 밀도 있는 리군의 합집합에서 그 극한 다성분다양체로의 포함사상이 약한 호모토플룹 동치를 유도하는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 만일 다성분다양체 M이 연속적 포함관계를 갖는 하위다성분다양체 Mₐ의 방향합집합이고, 약한 직접극한 차트를 갖는다면, 모든 k ∈ ℕ₀ 및 p ∈ M에 대해 πₖ(M,p) ≅ lim→ πₖ(Mₐ,p)이다.
• 합집합 ⋃ₐ Mₐ가 M에 조밀하다면, M가 컴팩트 리트랙티브이고 약한 직접극한 차트가 존재하는 한 결과가 그대로 유지된다.
• 지지가 컴팩트인 미분동형사상군 Diff_c(X)에서 가중치가 부여된 미분동형사상군 Diff_𝒲(X)ᵇ로의 포함사상은 약한 호모토플룹 동치이다.
• σ-콤팩트인 매끄러운 다성분다양체 M과 리군 H에 대해, 모든 r ∈ ℕ₀에 대해 포함사상 C^∞_c(M,H) → C^r_c(M,H)는 약한 호모토플룹 동치이다.
• 가중치가 부여된 미분동형사상군 Diff_𝒲(X)ᵇ의 호모토플룹은 지지가 컴팩트인 미분동형사상군 Diff_K(X)의 호모토플룹의 직접극한과 동형이며, 즉 πₖ(Diff_𝒲(X)ᵇ) ≅ lim→ πₖ(Diff_K(X))이다.
• 적절한 정규성 및 근사 조건 하에서, (LF)-공간 또는 (DFS)-공간으로 모델링된 리군—예를 들어 매끄러운 벡터장 또는 미분동형사상의 공간—에도 이 결과가 적용된다.