[논문 리뷰] Homotopy groups of spheres and Lipschitz homotopy groups of Heisenberg groups

Piotr Hajłasz, Armin Schikorra외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 새로운 랭크-필수 호모토피 군 개념을 통해 고전적 구면의 호모토피 군과 히젠베르크 군의 리프시츠 호모토피 군 사이의 연결 고리를 설정한다. 일반화된 호프 불변량을 사용하여 모든 $ n \geq 1 $ 에 대해 $\pi_{4n-1}^{\rho\iota\pi}(\mathbb{C}_{2n}) \neq \{0\}$ 임을 증명하고, $\dim{\mathcal{M}} \geq 4n$ 이고 $4n-1 \leq p < 4n$ 일 때 $W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n})$ 에서 리프시츠 사상이 조밀하지 않음을 보이며, 미분기하학적 공간에서의 분석에서 핵심적인 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We provide a sufficient condition for the nontriviality of the Lipschitz homotopy group of the Heisenberg group, $π_m^{Lip}(H_n)$, in terms of properties of the classical homotopy group of the sphere, $π_m(S^n)$. As an application we provide a new simplified proof of the fact that $π_n^{Lip}(H_n) eq 0$, $n=1,2,...$, and we prove a new result that $π_{4n-1}^{Lip}(H_{2n}) eq 0$ for $n=1,2,...$ The last result is based on a new generalization of the Hopf invariant. We also prove that Lipschitz mappings are not dense in the Sobolev space $W^{1,p}(M,H_{2n})$ when $dim M\geq 4n$ and $4n-1\leq p&lt;4n$.

연구 동기 및 목표

• 히젠베르크 군의 리프시츠 호모토피 군의 비자명성을 보장하는 충분조건을 고전적 호모토피 이론을 통해 설정하는 것.
• 모든 $ n \geq 1 $ 에 대해 $\pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n)$ 의 비자명성을 새로운 간단한 방법으로 재증명하는 것.
• $\pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n}) \neq \{0\}$ 임을 일반화된 호프 불변량을 사용하여 증명하는 것.
• $\dim{\mathcal{M}} \geq 4n$ 이고 $4n-1 \leq p < 4n$ 일 때 리프시츠 사상이 $W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n})$ 에서 조밀하지 않음을 보이며, 미분기하학적 공간에서의 핵심 조밀성 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 고전적 호모토피 군 $\pi_m(\mathbb{S}^n)$ 과 리프시츠 호모토피 군 $\pi_m^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n)$ 사이의 연결 고리를 위해 랭크-필수 호모토피 군의 개념을 도입한다.
• 매끄럽게 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 에 들어가는 비-리프시츠 임bedding $\phi: \mathbb{S}^n \to \mathbb{H}_n$ 를 사용하여, 구면에서 히젠베르크 군으로 위상적 장애를 이동시킨다.
• 일반화된 호프 불변량 $\mathcal{H}_\alpha$ 를 적용하여, 스케일링된 구면에서 미분형식의 풀백을 분석함으로써 $\pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n})$ 의 비자명성을 탐지한다.
• 함수 $f \in W^{1,p}({\mathbb{B}}^{4n}, \mathbb{H}_{2n})$ 에 대한 리프시츠 근사화 시퀀스 $g_k$ 와 수집된 집합 $E_k$ 를 정의하여 $L^p$ 에서 기울기 수렴을 제어한다.
• 푸비니 정리와 절단된 기울기 $\chi_{E_k} \nabla g_k$ 가 $\nabla f$ 에 $L^p$ 수렴함을 이용하여 반경 $r \in (0,1)$ 인 구면에서 일반화된 호프 불변량을 비교한다.
• 함수 $f|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)}$ 의 비영 불변량과 $g_k|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)}$ 의 영 불변량 사이의 모순을 유도함으로써 리프시츠 사상의 비조밀성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $\pi_m(\mathbb{S}^n)$ 이 $\pi_m^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n)$ 의 비자명성을 보장하는가?
• RQ2 $\pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n)$ 의 비자명성이 랭크-필수 호모토피 군 기반의 새로운 단순화된 방법으로 재증명될 수 있는가?
• RQ3 일반화된 호프 불변량이 $\pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n})$ 의 비자명성을 탐지할 수 있는가?
• RQ4 $\dim{\mathcal{M}} \geq 4n$ 이고 $4n-1 \leq p < 4n$ 일 때 리프시츠 사상이 $W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n})$ 에서 조밀한가?
• RQ5 미분형식과 $L^p$ 수렴의 기울기 수렴을 이용하여, 리프시츠 사상의 비조밀성을 모순을 통해 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 모든 $ n \geq 1 $ 에 대해 $\pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n}) \neq \{0\}$ 임을 증명하며, 기존에 알려진 $\pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n)$ 의 비자명성 결과를 확장한다.
• 새로운 일반화된 호프 불변량 $\mathcal{H}_\alpha$ 가 도입되었으며, 이는 모든 $ r \in (0,1)$ 에 대해 $\mathcal{H}_\alpha(f|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)}) \neq 0$ 이고, 모든 $k$ 와 $r$ 에 대해 $\mathcal{H}_\alpha(g_k|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)}) = 0$ 임을 보여 모순을 이끌어낸다.
• 이 모순은 $\chi_{E_k} \nabla g_k \to \nabla f$ 가 $L^p({\mathbb{B}}^{4n})$ 에서 수렴함을 바탕으로 하며, 이는 $L^{p/2n}$ 에서 풀백 형식의 수렴을 유도하고, 결과적으로 한계에서 호프 불변량이 비영임을 강제한다.
• 이 결과는 $\dim{\mathcal{M}} \geq 4n$ 이고 $4n-1 \leq p < 4n$ 일 때 리프시츠 사상이 $W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n})$ 에서 조밀하지 않음을 의미하며, 미분기하학적 공간에서 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.
• 이 증명 기법은 $4n$ 차원 슬라이스로 제한하고 푸비니 정리를 사용함으로써 일반적인 다변량 $\mathcal{M}$ 의 차원 $\geq 4n$ 에도 적용 가능하다.
• 저자들은 랭크-필수 호모토피 군 프레임워크를 사용하여 $\pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n) \neq \{0\}$ 의 비자명성에 대한 새로운 단순화된 증명을 제공한다.