[논문 리뷰] Homotopy techniques for solving sparse column support determinantal polynomial systems

George Labahn, Mohab Safey El Din외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 02.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 52인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 기하 해상법과 직선 프로그램을 활용하여 희소 열 지지 집합 행렬식 다항식 시스템을 해결하는 호모토피 기반 알고리즘을 제시한다. 이는 영차원 파arametrization의 효율적 계산을 가능하게 하며, 복잡도가 Õ(n⁴Γd)로 제한되어 있어 이전 방법을 희소성과 구조를 가진 다항식 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $\\mathbf{K}$ be a field of characteristic zero with $\\overline{\\mathbf{K}}$ its algebraic closure. Given a sequence of polynomials $\\mathbf{g} = (g_1, \\ldots, g_s) \\in \\mathbf{K}[x_1, \\ldots , x_n]^s$ and a polynomial matrix $\\mathbf{F} = [f_{i,j}] \\in \\mathbf{K}[x_1, \\ldots, x_n]^{p \ imes q}$, with $p \\leq q$, we are interested in determining the isolated points of $V_p(\\mathbf{F},\\mathbf{g})$, the algebraic set of points in $\\overline{\\mathbf{K}}$ at which all polynomials in $\\mathbf{g}$ and all $p$-minors of $\\mathbf{F}$ vanish, under the assumption $n = q - p + s + 1$. Such polynomial systems arise in a variety of applications including for example polynomial optimization and computational geometry. We design a randomized sparse homotopy algorithm for computing the isolated points in $V_p(\\mathbf{F},\\mathbf{g})$ which takes advantage of the determinantal structure of the system defining $V_p(\\mathbf{F}, \\mathbf{g})$. Its complexity is polynomial in the maximum number of isolated solutions to such systems sharing the same sparsity pattern and in some combinatorial quantities attached to the structure of such systems. It is the first algorithm which takes advantage both on the determinantal structure and sparsity of input polynomials. We also derive complexity bounds for the particular but important case where $\\mathbf{g}$ and the columns of $\\mathbf{F}$ satisfy weighted degree constraints. Such systems arise naturally in the computation of critical points of maps restricted to algebraic sets when both are invariant by the action of the symmetric group.

연구 동기 및 목표

• 희소 열 지지 집합 행렬식 다항식 시스템을 효율적으로 해결하기 위한 알고리즘을 개발하는 것.
• 감소된 정규 수열로 정의된 구조적 시스템으로 기하 해상법 기법을 확장하는 것.
• 직선 프로그램을 활용하여 다항식 시스템의 압축 표현과 효율적 평가를 실현하는 것.
• 이러한 시스템의 영차원 파arametrization에 대해 향상된 계산 복잡도를 달성하는 것.
• 희소성과 구조적 특성을 가진 응용에서 발생하는 시스템을 해결하기 위한 실용적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 입력 시스템을 표현하고 모든 관련 다항식 Θρ(𝓜ⱼ)를 계산하기 위해 길이가 Γ인 직선 프로그램을 사용한다.
• Gianni, Lecerf, Salvy(2001)의 기하 해상법 알고리즘을 감소된 정규 수열 Θρ(𝓜ⱼ)로 정의된 시스템에 적용한다.
• 희소 열 지지 집합의 구조를 활용하여 해 집합의 영차원 파arametrization을 계산한다.
• 해가 완전 교차 또는 공집합을 정의하는지 확인함으로써 정확성을 보장한다.
• 복잡도는 변수 수 n, 프로그램 길이 Γ, 차수 d에 따라 분석되며, 총 Õ(n⁴Γd)의 연산으로 제한된다.
• 기호 계산 기법과 직선 프로그램을 통한 효율적 평가에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모토피 기법은 어떻게 희소 열 지지 집합 행렬식 시스템을 효율적으로 해결하는 데 적응될 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템의 영차원 파arametrization을 계산하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 감소된 정규 수열이 끝날 수 있는 경우에도 기하 해상법을 적용할 수 있는가?
• RQ4 직선 프로그램의 사용은 이러한 구조적 시스템을 해결하는 데 있어 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 희소성과 열 지지 집합의 구조는 더 빠른 계산을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 알고리즘은 기하 해상법을 활용하여 Θρ(𝓜ⱼ)의 해 집합에 대한 영차원 파arametrization을 성공적으로 계산한다.
• 시퀀스가 조기에 종료되어 공집합을 정의할 수 있더라도 이 방법은 유효하다.
• 계산 복잡도는 Õ(n⁴Γd)로 제한되며, 여기서 Γ는 직선 프로그램의 길이다.
• 직선 프로그램의 사용은 모든 필요한 다항식 Θρ(𝓜ⱼ)와 중간 표현식의 효율적 평가를 가능하게 한다.
• 이 방법은 기존의 방법을 희소 열 지지 집합을 가진 구조적 시스템으로 일반화하여 이러한 경우의 효율성을 향상시킨다.
• 감소된 정규 수열로 정의된 시스템에 대해 정확성과 완전성을 보장하는 프레임워크를 제공한다.