[논문 리뷰] Hopf modules for autonomous pseudomonoids and the monoidal centre

Ignacio López Franco|ArXiv.org|2007. 10. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순한 이중화를 갖는 이중화 편모이드의 고전 이론과 드린펠트 이중체를 단순한 이중화를 갖는 이중화 편모이드의 모나드 이중화 이론으로 일반화한다. 이는 맵 이중화 편모이드가 히프 모듈 구성이 존재하기 위한 필요충분조건으로 왼쪽 이중화를 갖는 것임을 증명하며, 이러한 이중화 편모이드의 린센트 중심이 Eilenberg-Moore 구성으로 나타나며, 이 경우 이중화 편모이드가 오른쪽 이중화를 갖는다면 중심은 드린펠트 이중체와 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

In this work we develop some aspects of the theory of Hopf algebras to the context of autonomous map pseudomonoids. We concentrate in the Hopf modules and the Centre or Drinfel'd double. If $A$ is a map pseudomonoid in a monoidal bicategory \M, the analogue of the category of Hopf modules for $A$ is an Eilenberg-Moore construction for a certain monad in $\mathbf{Hom}(\M^{\mathrm{op}},\mathbf{Cat})$. We study the existence of the internalisation of this notion, called the Hopf module construction, by extending the completion under Eilenberg-Moore objects of a 2-category to a endo-homomorphism of tricategories on $\mathbf{Bicat}$. Our main result is the equivalence between the existence of a left dualization for $A$ ({\em i.e.}, $A$ is left autonomous) and the validity of an analogue of the structure theorem of Hopf modules. In this case the Hopf module construction for $A$ always exists. We use these results to study the lax centre of a left autonomous map pseudomonoid. We show that the lax centre is the Eilenberg-Moore construction for a certain monad on $A$ (one existing if the other does). If $A$ is also right autonomous, then the lax centre equals the centre. We look at the examples of the bicategories of \V-modules and of comodules in \V, and obtain the Drinfel'd double of a coquasi-Hopf algebra $H$ as the centre of $H$.

연구 동기 및 목표

• 히프 모듈 이론과 드린펠트 이중체 이론을 단순한 이중화를 갖는 이중화 편모이드의 더 넓은 맥락인 모나드 이중화 이중화 범주론에서 히프 대수에서 일반화한다.
• 역전환과 대칭의 개념적 역할을 명확히 하기 위해, 히프 모듈의 구조 정리에 대한 특징을 대칭이 아니라 왼쪽 이중화가 결정함을 보여준다.
• Eilenberg-Moore 구성의 개념적 틀을 사용하여 이중화 편모이드의 린센트 중심에 대한 범주론적 틀을 구축하며, 중간 단계의 Yetter-Drinfel'd 모듈을 피한다.
• 유한 차원 공쿼아-히프 대수의 드린펠트 이중체가 적절한 범주에서의 코모듈 이중화 범주에서 이중화 편모이드의 중심으로서 나타남을 보여준다.

제안 방법

• 모나드 이중화 범주 $\mathbf{Hom}(\mathscr{M}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Cat})$ 에서의 Eilenberg-Moore 구성으로, 모나드 이중화 범주 $\mathscr{M}$ 내의 맵 이중화 편모이드 $A$ 에 대해 히프 모듈을 정의한다.
• 히프 모듈 구성은 이 Eilenberg-Moore 객체의 내재화로 정의되며, 이때 모나드가 $[A, A]$ 에서 표현 가능해야 한다.
• Eilenberg-Moore 객체에 대한 완비화를 사용하여 2-범주 구성의 확장을 트리카테고리 호모모피즘으로 확장함으로써 존재 조건을 연구할 수 있도록 한다.
• 히프 모듈 구성에 대한 모나드가 오피모나드임을 보여주며, 이는 $\mathscr{M}$ 이 오른쪽 닫혀 있거나 오른쪽 이중화를 갖는 경우에 내재화가 가능함을 보장한다.
• 왼쪽 이중화를 갖는 맵 이중화 편모이드의 린센트 중심을 $A$ 위의 특정 모나드에 대한 Eilenberg-Moore 구성으로 특성화하며, 이 경우 이중화 편모이드가 오른쪽 이중화를 갖는다면 중심과 일치함을 증명한다.
• 이 틀을 범주 $\mathscr{V}\text{-}\mathbf{Mod}$ 와 $\mathbf{Comod}(\mathscr{V})$ 에 적용하여, 공쿼아-히프 대수의 드린펠트 이중체가 $H$ 의 중심으로서 복구됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모나드 이중화 범주 $\mathscr{M}$ 내의 맵 이중화 편모이드 $A$ 에 대해 히프 모듈 구성이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 편모이드 $A$ 에 대한 왼쪽 역전환 존재성과 히프 모듈의 구조 정리의 타당성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 왼쪽 이중화를 갖는 맵 이중화 편모이드의 린센트 중심은 Eilenberg-Moore 구성으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 왼쪽 및 오른쪽 이중화를 모두 갖는 맵 이중화 편모이드의 중심은 이 이중체와 동치인가?
• RQ5 $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 내의 공쿼아-히프 대수의 중심은 그 드린펠트 이중체와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 맵 이중화 편모이드 $A$ 는 왼쪽 이중화를 갖는 것과 히프 모듈의 정리가 $A$ 에 대해 성립하는 것 사이에 필요충분조건이다. 즉, 오른쪽 $A$-코모듈에서 $A$-히프 모듈로 가는 자연스러운 함자 $\mathbf{Comod}(A)^{\mathrm{op}} \to \mathbf{HopfMod}(A)$ 가 동치임을 의미한다.
• 맵 이중화 편모이드 $A$ 에 대해 히프 모듈 구성이 존재하는 것은 $A$ 가 왼쪽 이중화를 갖는 것과 동치이며, 이 경우 구성의 개체 부분은 $A$ 와 동치이다.
• 왼쪽 이중화를 갖는 맵 이중화 편모이드의 린센트 중심은 $A$ 위의 특정 모나드에 대한 Eilenberg-Moore 객체와 동형이며, 이 구성은 히프 모듈 구성이 존재할 때 정확히 존재한다.
• 편모이드 $A$ 가 오른쪽 이중화를 갖는다면, 린센트 중심은 $A$ 의 중심과 일치하며, 중심은 드린펠트 이중체 $D(A)$ 와 모나드 동치이다.
• 유한 차원 공쿼아-히프 대수 $H$ 에 대해 드린펠트 이중체 $D(H)$ 는 $H^{\tilde{s}^*}$ 와 동형이며, 이는 $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 내에서 $H$ 의 중심이다. 이는 코모듈 범주의 동치를 통해 유도된다.
• $\mathrm{Comod}_f: \mathbf{Comon}(\mathbf{Vect}) \to \mathbf{Vect}_f\text{-}\mathrm{Act}/\mathbf{Vect}_f$ 는 이중으로 완전한 함자이며, 이는 $H^{\tilde{s}^*}$ 와 $D(H)$ 가 $\mathbf{Comod}(\mathbf{Vect})$ 내에서 동치인 코알gebrastructure로 재구성 가능함을 보여준다.