[논문 리뷰] How hard is the tensor rank?

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 04.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 32인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 임의의 정수환에서 텐서 랭크를 계산하는 것이 그 도메인에서 다항식 방정식의 체계를 푸는 것과 다항시간 동치임을 입증하며 오랫동안 열려있던 문제들을 해결한다. ℤ에서의 텐서 랭크는 결정불가능함을 증명하고, ℚ에서의 대칭 텐서 랭크는 NP-난이도임을 보이며, 텐서 랭크 및 최소 랭크 행렬 완성과 같은 문제들에 대한 완전한 복잡도 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We investigate the computational complexity of tensor rank, a concept that plays fundamental role in different topics of modern applied mathematics. For tensors over any integral domain, we prove that the rank problem is polynomial time equivalent to solving a system of polynomial equations over this integral domain. Our result gives a complete description of the algorithmic complexity of tensor rank and allows one to solve several known open problems. In particular, the tensor rank over $\mathbb{Z}$ turns out to be undecidable, which answers the question posed by Gonzalez and Ja'Ja' in 1980. We generalize our result and prove that the symmetric rank admits a similar description of computational complexity as the one we give for usual rank. In particular, computing the symmetric rank of a rational tensor is shown to be NP-hard, which proves a recent conjecture of Hillar and Lim. As a byproduct of our approach, we get a similar characterization of the algorithmic complexity of the minimal rank matrix completion problem, which gives a complete answer to the question discussed in 1999 by Buss, Frandsen, and Shallit.

연구 동기 및 목표

• 임의의 정수환에서 텐서 랭크의 계산 복잡도를 완전히 특성화하는 것.
• 1980년 고타즈와 자아가 제기한 문제인 ℤ에서의 텐서 랭크가 결정가능한가 하는 오랜 열린 문제를 부정적으로 해결하는 것.
• 복잡도 특성화를 대칭 텐서 랭크로 확장하여 유리수 대칭 텐서에 대해 NP-난이도임을 증명하는 것.
• 최소 랭크 행렬 완성 문제의 알고리즘 복잡도가 다항식 체계 해결과 동일한지 보여주는 것.
• 단일 복잡도이론적 프레임워크 안에서 기존의 텐서 랭크, 대칭 랭크, 행렬 완성 결과들을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 주어진 정수환 R에서 다항식 방정식의 체계의 해가 존재하는지 여부를 결정하는 것으로 텐서 랭크 문제를 환원한다.
• 주어진 정수환 R에서의 다항식 방정식 체계가 확장 S에서 해를 가진다면, 그에 상응하는 R 위의 텐서 T의 랭크가 S에서 최대 r 이하가 되도록 하는 텐서 T를 구성한다.
• 단항식 변환과 대칭 분해를 통해 체 확장에 대해도 랭크 불변성을 유지한다.
• 횡단선과 대칭 텐서 분해를 통한 환원 기법을 적용하여, 행렬 랭크로 대칭 랭크를 유계화한다.
• 체 통합과 유리 함수 체를 활용하여 크기가 9 이상인 유한체에서의 해를 시뮬레이션함으로써 유효한 분해의 존재를 보장한다.
• 체 크기 제약 조건 하에서 분모가 0이 되지 않도록 하는 조건을 만족하는 유리 함수 분해를 통해 대칭 랭크를 유계화할 수 있음을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수에서의 텐서 랭크 문제는 결정가능한가?
• RQ2 유리수 텐서의 정확한 대칭 텐서 랭크 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 텐서 랭크의 복잡도는 다항식 체계의 가역성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 최소 랭크 행렬 완성 문제는 다항식 체계 해결의 관점에서 특성화될 수 있는가?
• RQ5 텐서의 랭크는 계수 환 또는 체 확장의 선택에 따라 달라지는가?

주요 결과

• 임의의 정수환 R에서의 텐서 랭크는 R에서의 다항식 방정식 체계의 해 존재 여부를 결정하는 것과 다항시간 동치이다.
• ℤ에서의 텐서 랭크는 결정불가능하며, 이는 1980년 고타즈와 자아가 제기한 문제를 해결한 것이다.
• ℚ에서의 대칭 텐서 랭크는 NP-난이도이며, 힐라르와 리움의 최근 추측을 확인한다.
• 최소 랭크 행렬 완성 문제의 알고리즘 복잡도는 다항식 체계 해결과 동일하며, 1999년 버스, 프랜든, 쇼리트가 제기한 질문에 답한다.
• 크기가 9 이상인 임의의 체 F에 대해, 분모가 0이 되지 않는 유리 함수 분해를 통해 텐서의 대칭 랭크를 유계화할 수 있다.
• 체 크기 제약 조건 하에서, 텐서 T의 대칭 랭크는 그에 관련된 행렬의 랭크에 차원에 대한 이차항을 더한 값 이상으로 유계화된다.