[논문 리뷰] How to smooth a crinkled map of spacetime: Uhlenbeck compactness for $L^\infty$ connections and optimal regularity for general relativistic shock waves by the Reintjes-Temple-equations

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 14.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 린트제스-템플(RT) 방정식을 도입한다. 이는 일반 상대성 이론의 충격파에서 $L^∞$ 접속을 그들의 리만 곡률 텐서보다 한 차수 더 높은 정규성으로 매끄럽게 하는 좌표 변환을 결정하는 새로운 비선형 타원형 편미분방정식계이다. 이러한 방정식에 대한 $L^p$ 기반 존재성 이론을 수립함으로써, 저자들은 유렌벡 컴actsness를 로렌츠 기하학으로 확장하고, 일반 상대성 이론의 충격파에서의 정규성 특이점이 좌표 변환을 통해 제거 가능하다는 것을 증명하며, 아인슈타인-유우러 방정식의 약한 해에 대해 최적의 정규성을 확보한다.

ABSTRACT

We present authors' new theory of the RT-equations, nonlinear elliptic partial differential equations which determine the coordinate transformations which smooth connections $Γ$ to optimal regularity, one derivative smoother than the Riemann curvature tensor ${ m Riem}(Γ)$. As one application we extend Uhlenbeck compactness from Riemannian to Lorentzian geometry; and as another application we establish that regularity singularities at GR shock waves can always be removed by coordinate transformation. This is based on establishing a general multi-dimensional existence theory for the RT-equations, by application of elliptic regularity theory in $L^p$ spaces. The theory and results announced in this paper apply to arbitrary $L^\infty$ connections on the tangent bundle $T\mathcal{M}$ of arbitrary manifolds $\mathcal{M}$, including Lorentzian manifolds of General Relativity.

연구 동기 및 목표

• 스pacetime 접속에서의 비최적 정규성(특히 일반 상대성 이론의 충격파에서의 정규성)이 물리적 특이점인지, 아니면 좌표 선택의 산물인지 여부라는 근본 문제를 해결하기 위해.
• 원래 리만 기하학에서 확립된 유렌벡 컴actsness를, 좌표 변환 프레임워크를 통해 리만 기하학을 초월하여 로렌츠 다양체로 확장하기 위해.
• RT-방정식에 대한 일반적인 존재성 이론을 $L^p$ 공간에서 수립하여, 접속이 곡률보다 한 차수 더 높은 정규성을 가지는 좌표계를 구성할 수 있도록 하기 위해.
• 일반 상대성 이론의 충격파에서의 정규성 특이점이 물리적이지 않으며, 좌표 변환을 통해 제거 가능하다는 것을 입증함으로써 국소 관성 구조를 복원하기 위해.

제안 방법

• RT-방정식은 임의의 다양체, 특히 로렌츠 시공간을 포함한 일반 시공간에서 접속의 최적 정규성을 달성하기 위한 좌표 변환을 제어하는 비선형 타원형 편미분방정식계로 유도된다.
• 유럽 기하학의 미분형식 기반의 유클리드 카르탕 대수를 활용함으로써, 계량의 부호에 관계없이 타원성을 보장하여 리만 기하학과 로렌츠 기하학 모두에 적용 가능하도록 한다.
• 표준 타원형 정규성 이론을 $L^p$ 공간에서 $p>n$일 때 적용함으로써, $W^{m,p}$ 및 $L^∞$ 공간에서의 반복적 방법을 통해 해의 존재성을 증명한다.
• 해를 구하기 위해 RT-방정식을 푸는 수치적 알고리즘을 구성함으로써, 접속의 정규성을 한 차수 향상시키는 구축 가능한 방법을 제공한다.
• 이 이론은 물질의 내용, 대칭성, 계량 부호에 의존하지 않아, 임의의 다양체의 접속 벡터 다발에 대해 일반적으로 적용 가능하다.
• 기존의 코시 문제 접근법과 대조적으로, 초구형 진화나 조화 게이지에 의존하지 않고, 타원형 소스항 정규화를 통해 정규성을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론의 충격파에서 정규성 특이점은 좌표 변환을 통해 제거될 수 있는가, 아니면 시공간 기하학의 본질적 특성인가?
• RQ2 리만 기하학에서 알려진 유렌벡 컴actsness는 일반 상대성 이론의 로렌츠 다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ3 곡률보다 한 차수 더 높은 정규성을 가지는 접속을 매끄럽게 하는 비선형 타원형 시스템에 대해 일반적인 존재성 이론을 수립할 수 있는가?
• RQ4 곡률이 $L^∞$일지라도, $L^∞$ 접속이 $W^{1,p}$ 정규성을 가지는 좌표계를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ5 RT-방정식은 아인슈타인-유우러 방정식의 약한 해에 대해 최적 정규성을 달성하는 구축 가능한 알고리즘적 방법을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• $\Gamma, \mathrm{Riem}(\Gamma) \in W^{m,p}$ 이고 $m \geq 1$, $p > n$ 이면, RT-방정식의 해가 존재하며, 이는 $\Gamma$ 를 $W^{m+1,p}$ 정규성으로 매끄럽게 하는 $W^{m+2,p}$ 좌표 변환을 제공한다.
• $\Gamma, \mathrm{Riem}(\Gamma) \in L^\infty$ 이면, 임의의 $p > n$ 에 대해 RT-방정식의 해가 $W^{2,2p}$ 에 존재하며, 이는 $\Gamma$ 에 대해 $W^{1,p}$ 정규성을 제공함으로써 최적 정규성을 달성한다.
• 계량 부호에 관계없이 RT-방정식은 타원형이므로, 타원형 정규성 이론을 반리만 다양체, 특히 로렌츠 시공간으로 확장할 수 있다.
• 일반 상대성 이론의 충격파에서의 정규성 특이점은 물리적이지 않으며, 좌표 선택의 산물이며, 좌표 변환을 통해 제거 가능하다.
• 결과적으로, 글림 스킴을 통해 구성된 아인슈타인-유우러 방정식의 약한 해는 이전에 알려진 것보다 한 차수 더 높은 정규성을 가지며, 지선과 국소 관성 프레임의 존재를 위한 충분한 조건을 만족한다.
• 이 이론은 반복적 방법 기반의 구축 가능한 알고리즘을 제공하여, 임의의 다양체에서 $L^\infty$ 접속에 대해 최적의 좌표를 계산하는 실용적인 방법을 제공한다.