[논문 리뷰] Hunting $\varepsilon$: The origin and validity of quasi-steady-state reductions in enzyme kinetics

Justin Eilertsen, Malgorzata Tyczynska외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 08.

Protein Structure and Dynamics참고 문헌 48인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 특이 섭동 이론과 중심다양체 분석을 사용하여 상호분자 간 자가촉매 작용 효소의 활성화 반응 메커니즘(IAZA)에서 준정적상 근사(QSSAs)의 타당성을 결정짓는 무차원 매개변수 ε을 규명한다. ε은 빠른 시간스케일과 느린 시간스케일의 비율에서 유도되며, 한 쪽 극한에서는 페니켈 이론을 통해, 다른 쪽 극한에서는 중심다양체 이론을 통해 QSS 감소가 정당화됨을 보여주며, 이 타당성은 매개변수 공간 내 경로에 따라 달라진다—특히 동적 동역학의 초점분기점 근처에서는 고전 이론이 실패한다.

ABSTRACT

The estimation of the kinetic parameters requires the careful design of experiments under a constrained set of conditions. Many estimates reported in the literature incorporate protocols that leverage simplified mathematical models known as quasi-steady-state reductions. Such reductions often - but not always - emerge as the result of a singular perturbation scenario. However, the utilization of the singular perturbation reduction method requires knowledge of a dimensionless parameter, $\varepsilon$, that is proportional to the ratio of the reaction's fast and slow timescales. Using techniques from differential equations, Fenichel theory, and center manifold theory, we derive the appropriate $\varepsilon$ whose magnitude regulates the validity of the quasi-steady-state reduction employed in the reported experimental procedures for intermolecular autocatalytic zymogen activation reaction. Although the model equations are two-dimensional, the fast/slow dynamics are rich. The phase plane exhibits a dynamic transcritical bifurcation point in a particular singular limit. The existence of such a bifurcation is relevant, because the critical manifold losses normal hyperbolicity and classical Fenichel theory is inapplicable. Furthermore, we show that in some cases chemical reversibility can be interpreted dynamically as an imperfection, since the presence of reversibility can destroy the bifurcation structure present in the singular limit. We show that the reduction method by which QSS reductions are justified can depend on the path taken in parameter space. Specifically, we show that the standard quasi-steady-state reduction for this reaction is justifiable by center manifold theory in one limit, and via Fenichel theory in a different limit.

연구 동기 및 목표

• IAZA 반응 메커니즘에서 준정적상 감소의 타당성을 결정짓는 올바른 무차원 매개변수 ε을 규명하는 것.
• QSS 근사를 사용하는 실험적 프rotocol이 정확한 동역학적 파라미터 추정치를 도출할 수 있는 시기를 해결하는 것.
• 고전적 페니켈 이론이 정규 초구형성의 상실로 인해 실패하는 특이 극한에서 IAZA 메커니즘의 동적 분기 구조를 분석하는 것.
• 화학적 가역성 또는 다양한 초기 조건이 존재할 경우 QSS 감소가 수학적으로 정당화되는 조건을 명확히 하는 것.
• QSS 감소의 정당화가 매개변수 공간 내 경로에 따라 달라지며, 단지 취하는 극한에 의존하지 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• IAZA 메커니즘에서 빠른 시간스케일과 느린 시간스케일의 비율로 적절한 ε을 유도하기 위해 기하학적 특이 섭동 이론(GSPT)을 적용한다.
• 빠른 시간스케일이 느린 시간스케일보다 훨씬 짧은 극한에서, 정규 초구형성 조건 하에 QSS 감소를 페니켈 이론으로 정당화한다.
• 총 효소 농도가 작아지는 극한(ET → 0)에서 비판적 다양체의 정규 초구형성이 상실되는 상황에서 QSS 감소를 중심다양체 이론을 통해 정당화한다.
• 이론적 분석을 통해 선형화된 시스템의 고유값 비율의 제곱근에 비례하는 거리만큼 분기점에서 멀리 떨어져 궤적이 유지됨을 보여준다.
• 상태면 역학을 분석하여 특이 극한에서 동적 초점분기점이 존재함을 확인하며, 이는 표준 GSPT 적용에 영향을 미친다.
• 화학적 가역성의 영향을 비교하여, 이가 비가역 극한에서 존재하는 분기 구조를 파괴할 수 있는 동적 불완전성으로 작용함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호분자 간 자가촉매 작용 효소의 활성화 메커니즘에서 준정적상 근사의 타당성을 결정짓는 올바른 무차원 매개변수 ε은 무엇인가?
• RQ2 특이 극한에서 동적 초점분기점이 존재할 경우, 왜 표준 준정적상 감소가 엄밀한 수학적 정당성을 갖지 못하는가?
• RQ3 QSS 감소의 정당화는 매개변수 공간 내 경로에 따라 어떻게 달라지며, 특히 작은 k2 또는 작은 ET로 접근할 때 어떻게 달라지는가?
• RQ4 화학적 가역성은 IAZA 메커니즘의 분기 구조를 어떻게 변화시키는가? 어떤 방식으로 동적 불완전성으로 작용하는가?
• RQ5 중심다양체 이론과 페니켈 이론은 동일한 QSS 감소를 동시에 정당화할 수 있으며, 만약 가능하다면 어떤 서로 다른 매개변수 극한 조건에서 가능한가?

주요 결과

• 매개변수 ε은 빠른 시간스케일과 느린 시간스케일의 비율로 유도되며, IAZA 메커니즘에서 준정적상 감소의 타당성을 위해 ε ≪ 1이 필수적이다.
• 일반적인 실험적 초기 조건에서 유도된 궤적들은 선형화된 시스템의 고유값 비율의 제곱근에 비례하는 거리만큼 분기점에서 멀리 떨어져 있음을 유지한다.
• 정규 초구형성의 상실로 인해 고전적 페니켈 이론은 분기점에서는 적용 불가능하지만, 분기점 그 자체를 직접 통과하는 '가짜 카나드'가 존재한다.
• 표준 준정적상 감소는 총 효소 농도가 작아지는 극한(ET → 0)에서 중심다양체 이론으로, 작은 k2 근처에서 페니켈 이론으로 정당화된다.
• 화학적 가역성은 동적 불완전성으로 작용하며, 분기 구조를 파괴하고 QSS 근사의 타당성에 영향을 줄 수 있다.
• QSS 감소의 정당화는 경로에 따라 달라진다: 동일한 감소가 매개변수 공간 내 다른 극한을 취함에 따라 서로 다른 수학적 이론에 의해 정당화될 수 있다.