[논문 리뷰] Hydrodynamic limits and numerical errors of isothermal lattice Boltzmann schemes

Gauthier Wissocq, Pierre Sagaut|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 29.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 105인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 이sothermal lattice Boltzmann 방법에서 일관성 오차(운동론적 기술에서 기인함)와 수치 오차(공간 및 시간 이산화에서 기인함)를 체계적으로 분리하고 식별하기 위해 Knudsen 수에 대한 테일러 전개를 기반으로 한 새로운 渐近 분석을 제안한다. 분석 결과, BGK 모델의 낮은 소산성은 유리한 오차 구조 때문이며, 정규화 및 MRT 모델은 큰 수치 계수로 인해 인위적인 고차수 소산성(즉, '초점성 열화')을 경험하여 점성이 낮은 유동에서 과다 소산성과 불안정성을 겪는다.

ABSTRACT

With the aim of better understanding the numerical properties of the lattice Boltzmann method (LBM), a general methodology is proposed to derive its hydrodynamic limits in the discrete setting. It relies on a Taylor expansion in the limit of low Knudsen numbers. With a single asymptotic analysis, two kinds of deviations with the Navier-Stokes (NS) equations are explicitly evidenced: consistency errors, inherited from the kinetic description of the LBM, and numerical errors attributed to its space and time discretization. The methodology is applied to the Bhatnagar-Gross-Krook (BGK), the regularized and the multiple relaxation time (MRT) collision models in the isothermal framework. Deviation terms are systematically confronted to linear analyses in order to validate their expressions, interpret them and provide explanations for their numerical properties. The low dissipation of the BGK model is then related to a particular pattern of its error terms in the Taylor expansion. Similarly, dissipation properties of the regularized and MRT models are explained by a phenomenon referred to as hyperviscous degeneracy. The latter consists in an unexpected resurgence of high-order Knudsen effects induced by a large numerical pre-factor. It is at the origin of over-dissipation and severe instabilities in the low-viscosity regime.

연구 동기 및 목표

• 이산적 설정에서 lattice Boltzmann 스킴의 유체역학적 극한을 유도하기 위한 통합적 방법론을 개발하는 것.
• 운동론적 기술에서 기인한 일관성 오차와 공간/시간 이산화에서 기인한 수치 오차를 명시적으로 분리하는 것.
• 테일러 전개를 통한 BGK, 정규화, MRT 충돌 모델의 수치적 거동을 설명하는 것.
• 고도로 발전된 LBM 모델에서 점성이 낮은 영역에서의 과다 소산성과 불안정성의 근본 원인을 규명하는 것.
• 선형 안정성 분 析를 통해 오차 항을 검증하고 수치적 성질에 물리적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• Knudsen 수에 대한 테일러 전개를 적용하여 이산적 lattice Boltzmann 방정식에서 등가의 매크로스코픽 방정식을 유도한다.
• Knudsen 수와 이산화 매개변수(∆x, ∆t) 사이에 사전 스케일링을 가정하지 않은 단일 渐近 분석을 수행한다.
• 공간 미분의 최고 4차항까지 일관성 오차 및 수치 오차 항의 체계적 표현을 유도한다.
• 선형 안정성 분 析 결과와 유도된 오차 항을 비교하여 그 물리적 의미를 검증하고 해석한다.
• BGK, 정규화, MRT 모델의 오차 계수(C_i, N_i)의 구조를 분석하여 그들의 소산성 특성을 설명한다.
• '초점성 열화'를 기계적 메커니즘으로 규명: 큰 수치 계수로 인해 고차수 Knudsen 효과가 재등장하여 과다 소산성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산적 설정에서 lattice Boltzmann 스킴의 일관성 오차와 수치 오차를 어떻게 체계적으로 분리하고 정량화할 수 있는가?
• RQ2 BGK 모델에서 관찰되는 낮은 소산성은 무엇 때문이며, 그 오차 항의 구조와는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 왜 정규화 및 MRT lattice Boltzmann 모델은 점성이 낮은 흐름에서 과다 소산성과 불안정성을 보이는가?
• RQ4 MRT 및 정규화 스킴에서 잡음 있는 고차수 효과가 나타나는 데 있어 수치 계수의 역할은 무엇인가?
• RQ5 유도된 오차 항은 선형 안정성 분 析 결과와 어떻게 비교되며, 이는 모델의 강건성에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• BGK 모델은 오차 항의 특정 상쇄 패턴, 특히 C1 및 C2 계수에서 기인한 낮은 소산성을 나타낸다.
• 정규화 및 MRT 모델은 큰 수치 계수로 인해 고차수 Knudsen 효과가 재등장하는 '초점성 열화'를 겪으며, 이는 과다 소산성을 초래한다.
• 이러한 초점성 열화가 MRT 및 정규화 스킴에서 특히 심각한 불안정성을 유발하는 근본 원인임을 규명하였다.
• MRT 및 정규화 모델에서 수치 오차 항(N_i)은 일관성 오차 항(C_i)보다 크기가 현저히 크며, 이는 저점성 영역에서의 열악한 성능을 설명한다.
• 분석 결과 BGK 모델의 오차 구조가 MRT 및 정규화 모델보다 유리함을 검증하였으며, 이는 저점성 흐름에서의 더 뛰어난 안정성에 기여한다.
• 이 방법론은 물리적 일관성 오차와 순수한 수치적 오염을 명확히 구분하여 LBM의 수치적 성질에 대한 더 명확한 이해를 가능하게 하였다.