[논문 리뷰] Hyperbolic inverse problem with data on disjoint sets

Yavar Kian, Yaroslav Kurylev외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 11.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 엄격한 볼록성과 시간 $T/2$ 내에서의 정확한 제어 가능성을 갖는 $Σ$에서의 부분 Dirichlet-to-Neumann 데이터를 이용해, 분리된 집합 $Σ$와 $ρ$에서의 하향파동 방정식의 하위계수 $A$와 $q$의 유일한 복원을 확립한다. 주요 결과는 $ρ$의 주변에서 $A$와 $q$가 게이지 등가성까지 유일하게 결정됨을 보여주며, $Σ$와 $ρ$가 분리되어 있더라도 성립한다.

ABSTRACT

We consider a restricted Dirichlet-to-Neumann map associated to a wave type operator on a Riemannian manifold with boundary. The restriction corresponds to the case where the Dirichlet traces are supported on one subset of the boundary and the Neumann traces are restricted on another subset. We show that the restricted Dirichlet-to-Neumann map determines the lower order terms in the wave equation, up the natural gauge invariances, along a convex foliation of the manifold. We allow the lower order terms to be non-self-adjoint, and in particular, the corresponding physical system may have dissipation of energy.

연구 동기 및 목표

• 하향파동 방정식에서 하위계수 $A$와 $q$를 분리된 집합 $\mathcal{S}$와 $\mathcal{R}$에서의 부분 경계 측정치로부터 복원하는 역문제를 다루는 것.
• 관측 영역과 자극 영역이 겹치지 않는 상황에서 기존 방법이 실패하는 문제를 해결하는 것 — 관측 영역과 자극 영역의 겹침 부족으로 인한 실패를 극복하는 것.
• 기하 조건인 $ρ$의 엄격한 볼록성과 $Σ$에서 시간 $T/2$ 내 정확한 제어 가능성 조건 하에서 $A$와 $q$의 게이지 불변성까지의 유일성 확립.
• $ρ$의 엄격한 볼록성을 활용한 국소적 파동 해의 구성 기법을 개발하여, 분리된 데이터 집합에도 불구하고 복원이 가능하도록 하는 것.

제안 방법

• 시간 $T$ 에서 $ρ$ 근처에 에너지가 집중되도록 하기 위해, $ρ$의 엄격한 볼록성을 활용해 $(0,T)\times\mathcal{S}$ 에 지지된 경계 소스 $f$ 를 구성한다.
• 응답 연산자 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ 를 정의한다: $f \mapsto (\partial_\nu u_f - \frac{1}{2}(A,\nu)_g u_f)|_{(0,T)\times\mathcal{R}}$ 를 통해 경계 소스와 노르몬 트레이스를 연결한다.
• 게이지 변환 프레임워크를 적용한다: $A_\kappa = A + 2\kappa^{-1}\operatorname{grad}_g \kappa$, $q_\kappa = q + \kappa(A - \Delta_g)\kappa^{-1}$, 이에 따라 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ 는 불변이다.
• 시간 $T/2$ 내에서 $Σ$에서의 정확한 제어 가능성을 이용해, 모든 점이 시간 $T$ 까지 도달할 수 있음을 보장하고, 근사 수열을 구성한다.
• 시간 $T$ 에서의 해의 약한 수렴성과 $L^2(M)$ 내의 조밀성 추론을 활용해, 해의 극한을 분석하고 $ρ$ 근처에서 Dirac 유사 측도로 수렴함을 보인다.
• 두 다른 계수 집합에서 유도된 해 $v_{1,\phi}(T,\cdot)$ 와 $v_{2,\phi}(T,\cdot)$ 가 수반 문제의 해임을 이용해 내적 항등식을 유도하고, 이를 통해 유일성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소스 집합 $\mathcal{S}$ 와 관측 집합 $\mathcal{R}$ 가 분리되어 있을 때, 하향파동 방정식의 하위계수 $A$ 와 $q$ 는 부분 경계 측정치로부터 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ2 $\mathcal{R}$ 와 $\mathcal{S}$ 에 대한 기하 조건과 제어 이론적 조건은 $A$ 와 $q$ 의 게이지 불변성까지의 유일성에 충분한가?
• RQ3 $\mathcal{S}$ 와 $\mathcal{R}$ 가 분리되어 있을 때, $\mathcal{S}$ 에서만 경계 소스를 사용하여 시간 $T$ 에서 $\mathcal{R}$ 근처에 집중된 해를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 비자기 연산항 ($A$, $q$) 이 존재할 경우 역문제에 어떤 영향을 미치며, 이 설정에서 게이지 불변성은 어떻게 다루어지는가?

주요 결과

• 응답 연산자 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ 는 $ρ$ 근처에서 $A$ 와 $q$ 를 게이지 변환까지 유일하게 결정한다. 이는 $ρ$ 가 엄격한 볼록성이고 파동 방정식이 시간 $T/2$ 내에서 $Σ$ 에서 정확한 제어 가능성이 있을 때 성립한다.
• 적절한 경계 소스 $f$ 를 구성함으로써 시간 $T$ 에서 $u_f(T,\cdot)$ 가 $ρ$ 근처에 집중되도록 할 수 있으며, 이는 $ρ$ 의 엄격한 볼록성을 활용한 것이다.
• $\mathcal{S}$ 와 $\mathcal{R}$ 가 분리되어 있어도 역문제는 해결 가능하며, 이는 이러한 경우 고정 주파수 데이터로는 기하 구조를 복원할 수 없다는 것과 대조된다.
• 이 방법은 시간 $T$ 에서 해의 약한 극한이 Dirac 유사 측도로 수렴함을 이용하여, 수반 문제의 해와의 내적 항등식을 통해 점별 값 $A$ 와 $q$ 를 복원할 수 있음을 보여준다.
• 복소수 값의 $A$ 와 $q$ 에 대해서도 결과가 성립하여, 에너지 감쇠를 포함한 비자기 연산계에도 적용 가능하다.
• 더 강한 기하 조건인 볼록 분할 조건 하에 전역 유일성 결과를 확립하여 국소 결과를 전체 다양체로 확장한다.