[논문 리뷰] Hyperbolic measure of maximal entropy for generic rational maps of P^k

Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{P}^k$ 위의 일반적인 유리 함수에 대해 $s$-번째 동적 도수 $\lambda_s(f)$가 나머지 모든 도수를 엄격히 초월할 경우, 초구형 측도의 최대 엔트로피가 존재함을 증명한다. 슈퍼포텐셜과 부드러운 코어턴트에 의한 근사법을 사용하여, $A$가 복소다양체에서 흑색집합을 제외한 외부에 있을 경우 $f \circ A$에 대해 측도 $\nu^\prime = \pi_* (\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-)$를 구성하며, 이 측도가 엔트로피 $\log \lambda_s(f)$와 완전한 초구형 성질을 지닌다는 것을 증명한다. 이는 이전 결과를 비역상적 사상에 국한되지 않는 일반적인 유리 함수로 확장한다.

ABSTRACT

Let f be a dominant rational map of P^k such that there exists s lambda_l(f) for all l. Under mild hypotheses, we show that, for A outside a pluripolar set of the group of automorphisms of P^k, the map f o A admits a hyperbolic measure of maximal entropy log(lambda_s(f)) with explicit bounds on the Lyapunov exponents. In particular, the result is true for polynomial maps hence for the homogeneous extension of f to P^{k+1}. This provides many examples where non uniform hyperbolic dynamics is established. One of the key tools is to approximate the graph of a meromorphic function by a smooth positive closed current. This allows us to do all the computations in a smooth setting, using super-potentials theory to pass to the limit.

연구 동기 및 목표

• 유리 함수 $f$가 $s$-번째 동적 도수 $\lambda_s(f)$에 의해 다른 모든 도수를 엄격히 초월할 경우, $\mathbb{P}^k$ 위에서 초구형 최대 엔트로피 측도의 존재를 확립하는 것.
• 이전의 역상적 사상 및 다항형 유사 사상에 대한 결과를, 대칭성 조건이나 구체적인 불연속 집합 차원에 대한 제약 없이 일반적인 유리 함수로 확장하는 것.
• 특정 소형 변형 $f \circ A$에 대해 $A \in \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^k)$ 이외의 복소다양체에서 흑색집합을 제외한 경우, 그러한 측도가 존재함을 보이는 것.
• 특이점을 다루기 위해 슈퍼포텐셜 이론과 코어턴트 근사법을 사용하는 구성적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 블로업 구조 $\pi: \mathbb{P}^{k+1} \to \mathbb{P}^k$ 를 사용하여 유리 함수 $f$의 그래프를 부드럽고 양의 폐쇄 코어턴트로 근사하는 것.
• $\mathbb{P}^{k+1}$ 상에서 $\widetilde{f}$ 를 정의하고, $\widetilde{f}$ 에 대해 그린 코어턴트 $\widetilde{T}_1^+$ 와 $\widetilde{T}_{k-s}^-$ 를 구성하며, 이들이 와이드가능하다고 가정하는 것.
• $\pi_*$ 를 사용하여 코어턴트 $\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-$ 를 $\mathbb{P}^k$ 로 옮겨 캐디데이트 측도 $\nu^\prime$ 를 얻는 것.
• De Thélin의 정리에 의해 상대 포텐셜을 적용하여 $\nu^{\prime}$ 가 $\log \mathrm{dist}(\cdot, I)$ 를 적분함을 보여, 초구형 성질을 입증하는 것.
• Hartogs 수렴성 원리를 적용하여 $\nu^\prime$ 가 부드러운 코어턴트의 극한 $\frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (f^n)^* (\omega^s) \wedge \pi_* (\cdots)$ 로서 나타남을 보이며, 이는 불변성과 엔트로피 계산을 보장한다.
• $\nu^\prime$ 와 더 규칙적인 코어턴트 $T_s^+ \wedge T_s^-$ 를 비교하여 $\nu$ 가 $\nu^\prime$ 보다 더 H-규칙적임을 보이고, 이는 엔트로피 및 초구형 증명을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $l \neq s$ 에 대해 $\lambda_s(f) > \lambda_l(f)$ 를 만족할 경우, $\mathbb{P}^k$ 위의 일반적인 유리 함수에 대해 초구형 최대 엔트로피 측도가 존재하는가?
• RQ2 이러한 측도의 구성이, 대칭성 조건이나 불연속 집합 차원 제약 없이, 비역상적 또는 다항형 유사 사상에 국한되지 않고 일반적인 유리 함수로 확장 가능한가?
• RQ3 특이점이 존재하는 상황에서, 부드러운 코어턴트 근사법과 슈퍼포텐셜 이론을 통해 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ4 $A$ 가 일반적일 경우 $f \circ A$ 에 대해 구성된 측도 $\nu^\prime$ 는 정확히 $\log \lambda_s(f)$ 의 엔트로피와 완전한 초구형 성질을 지닌다?
• RQ5 측도의 최대 엔트로피가 유일함을 보이기 위해 $\nu^\prime = \nu$ 를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• $A \in \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^k)$ 이 복소다양체에서 흑색집합을 제외한 외부에 있을 경우, $f \circ A$ 는 엔트로피 $\log \lambda_s(f)$ 를 가진 초구형 최대 엔트로피 측도를 지닌다.
• 측도 $\nu^\prime = \pi_* (\widetilde{T}_1^+ \wedge \widetilde{T}_{k-s}^-)$ 는 $f$ 에 대해 불변이며, 상대 엔트로피 추정과 Gromov의 논증을 통해 엔트로피 $\log \lambda_s(f)$ 를 가진다.
• 측도 $\nu^\prime$ 는 De Thélin의 정리를 적용한 이론적 근거로 $\log \mathrm{dist}(\cdot, I)$ 를 적분하므로 초구형임을 보장한다.
• 이 구성은 블로업과 릿지화를 통해 특이 코어턴트 $T_s^+ \wedge T_s^-$ 를 부드러운 코어턴트로 근사함으로써 슈퍼포텐셜 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 극한 $\nu^\prime = \lim_{n \to \infty} \pi_* \left( \frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (\widetilde{f}^n)^* (\Omega_{s+1}) \wedge \frac{1}{(d \cdot d_s)^n} (\widetilde{f}^n)_* (\Omega_{k-s}) \right)$ 는 Hartogs 수렴성에 따라 수렴하며, 이는 불변성을 보장한다.
• 측도 $\nu = T_s^+ \wedge T_s^-$ 는 $\nu^\prime$ 보다 더 H-규칙적이며, [4]의 정리 4.2와 추론 3을 적용함으로써 엔트로피와 초구형 성질이 확인된다.