[논문 리뷰] Large entropy measures for endomorphisms of CP(k)

Christophe Dupont|ArXiv.org|2009. 11. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 코딩 기법과 심벌리크 다이내믹스의 길버스 측도를 사용하여 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ 상의 호로몰픽 엔도모르피즘에 대해 에르고딕 불변 측도의 집합을 구성한다. 이 측도들은 메트릭 엔트로피가 $\log d^k$에 가까운 성질을 가지며, 양의 리아프노프 지수, 상관관계의 지수적 감쇠, 거의 확실한 불변 원리를 만족하고, 줄리아 집합에 포함된 지지집합을 가지며 최대 엔트로피 측도에 대해 비특이성을 갖는다.

ABSTRACT

Let $f$ be an holomorphic endomorphism of $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$. We construct by using coding techniques a class of ergodic measures as limits of non-uniform probability measures on preimages of points. We show that they have large metric entropy, close to $\log d^k$. We establish for them strong stochastic properties and prove the positivity of their Lyapunov exponents. Since they have large entropy, those measures are supported in the support of the maximal entropy measure of $f$. They in particular provide lower bounds for the Hausdorff dimension of the Julia set.

연구 동기 및 목표

• 호로몰픽 엔도모르피즘의 $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$에 대해 큰 메트릭 엔트로피를 갖는 에르고딕 불변 측도의 집합을 구성하는 것.
• 이러한 측도들이 상관관계의 지수적 감쇠와 거의 확실한 불변 원리와 같은 강력한 확률적 성질을 만족하는지 확인하는 것.
• 구성된 측도들이 양의 리아프노프 지수를 가지며 최대 엔트로피 측도 $\mu$에 대해 비특이성임을 증명하는 것.
• 이 측도들의 지지집합이 줄리아 집합 $\mathcal{J} = \mathrm{supp}\,\mu$ 내부에 있음을 보이며, 이에 따라 그 하우스도르프 차원에 대한 하한을 제공하는 것.
• 1차원 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$에서의 코딩 기법을 고차원 복소 프로젝티브 공간으로 확장하여 높은 엔트로피를 갖는 동역학계에 적용하는 것.

제안 방법

• 호로몰픽 엔도모르피즘의 전역 역상의 구조를 모델링하기 위해 전체 이동 공간 $\Sigma = \{1, \ldots, d^k\}^{\mathbb{N}}$ 상에서의 심벌리크 다이내믹스를 사용한다.
• 홀더 연속 잠재력 $\varphi$ 에 대해 $\tau_\theta(\varphi) > 0$ 를 만족하는 작은 $\theta$ 에 대해 길버스 측도 $\nu_\varphi$ 를 $\Sigma$ 상에 적용한다.
• 일반적인 $z \notin \mathcal{F}_\theta$ 에 대해, $\mathcal{A}^n \to f^{-n}(z)$ 로의 호환성 있는 전단사 사상 $z_n$ 을 구성한다.
• 길버스 측도 $\nu_\varphi$ 를 $z_n$ 을 통해 전이하여 $f^{-n}(z)$ 상의 유한 측도 $\nu_n$ 을 얻고, 이 측도들이 약한 수렴으로 $f$-불변 측도 $\nu$ 로 수렴하도록 한다.
• 지역 좌표계에서의 역행 그래프 변환과 수축 추론을 활용하여 동역학 하에 불변 다양체의 존재성과 정칙성을 보장한다.
• 특히 압력 및 엔트로피 추정, 특히 $h_{\nu_\varphi}(s) > \log d^{k-\theta}$ 를 통해 극한 측도 $\nu$ 의 큰 메트릭 엔트로피를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코딩 기법을 $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ 에서의 적용을 초과하여 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{C}\mathbb{P}^k$ 상의 호로몰픽 엔도모르피즘에 대해 큰 메트릭 엔트로피를 갖는 에르고딕 측도를 구성하는 데 확장할 수 있는가?
• RQ2 이러한 구성된 측도들이 상관관계의 지수적 감쇠와 거의 확실한 불변 원리와 같은 강력한 확률적 성질을 만족하는가?
• RQ3 구성된 측도들과 최대 엔트로피 측도 $\mu$ 사이의 지지집합과 비특이성 관계는 어떠한가?
• RQ4 이러한 측도들의 리아프노프 지수는 최대 엔트로피 측도의 지수와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 이러한 측도들이 줄리아 집합의 하우스도르프 차원에 대한 하한을 제공하는 데 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 구성된 측도 $\nu$ 는 메트릭 엔트로피 $h_\nu(f) = h_{\nu_\varphi}(s) > \log d^{k-\theta}$ 를 가지며, $\theta \to 0$ 일 때 상위 엔트로피 $\log d^k$ 에 가까워진다.
• 측도 $\nu$ 는 홀더 연속 관측량에 대해 거의 확실한 불변 원리를 만족하며, 이는 중심극한정리와 반복로그 법칙을 함의한다.
• $\nu$ 의 리아프노프 지수는 $\frac{1}{2}(h_\nu(f) - \log d^{k-1}) > 0$ 으로 아래에서 유계되어 있으며, 이는 양의 성질을 확인한다.
• 측도 $\nu$ 의 지지집합은 줄리아 집합 $\mathcal{J} = \mathrm{supp}\,\mu$ 내부에 포함되며, $h_\nu(f) < \log d^k$ 이므로 $\nu_\varphi$ 가 $\Sigma$ 상에서 최대 엔트로피가 아닐 경우 $\mu$ 에 대해 비특이성을 갖는다.
• 가중치 $w_\alpha \leq d^{-k+\eta}$ 를 갖는 제품형 길버스 측도에 대해, 구성은 혼합성 $f$-불변 측도 $\nu$ 를 유도하며, 엔트로피는 $h_\nu(f) > \log d^{k-\eta}$ 를 만족한다.
• 구성에 실패하는 점들로 이루어진 예외 집합 $\mathcal{F}_\theta$ 는 체적 0을 가지며, 이는 일반적인 $z$ 에 대해 결과가 성립함을 보장한다.