[논문 리뷰] Identification of Dominant Subspaces for Linear Structured Parametric Systems and Model Reduction

Peter Benner, Pawan Goyal외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 30.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 구조적 매개변수 시스템을 위한 새로운 모델 순서 축소(MOR) 프레임워크를 제안한다. 이는 복소 주파수 평면과 매개변수 공간에서의 보간 기반 방법을 통해 주된 가용 가능 부분공간과 관측 가능 부분공간을 식별함으로써 이루어진다. 충분한 수의 점을 사용할 경우 보간에서 유도된 투영 행렬이 이러한 부분공간을 포함함을 보여줌으로써, 가장 제어 가능하고 관측 가능한 동역학을 유지하는 저차원 모델을 구성한다. 이는 이전 방법들보다 훨씬 낮은 차수로 높은 정확도를 달성하며, 80 대 210의 저차원으로 평가된 대규모 벤치마크, 예를 들어 자이로스코프 모델에서 성능을 입증하였다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss a novel model reduction framework for generalized linear systems. The transfer functions of these systems are assumed to have a special structure, e.g., coming from second-order linear systems and time-delay systems, and they may also have parameter dependencies. Firstly, we investigate the connection between classic interpolation-based model reduction methods with the reachability and observability subspaces of linear structured parametric systems. We show that if enough interpolation points are taken, the projection matrices of interpolation-based model reduction encode these subspaces. As a result, we are able to identify the dominant reachable and observable subspaces of the underlying system. Based on this, we propose a new model reduction algorithm combining these features leading to reduced-order systems. Furthermore, we pay special attention to computational aspects of the approach and discuss its applicability to a large-scale setting. We illustrate the efficiency of the proposed approach with several numerical large-scale benchmark examples.

연구 동기 및 목표

• 보간 기반 모델 순서 축소와 구조적 매개변수 시스템의 가용 가능성/관측 가능성 부분공간 간의 관계를 규명하는 것.
• 선형 구조적 매개변수 시스템을 위한 가장 주요한 가용 가능 부분공간과 관측 가능 부분공간을 식별하는 방법을 개발하는 것.
• 이러한 주요 부분공간을 유지하는 저차원 모델을 구성하여 시스템 행동의 고정밀도 근사치를 보장하는 것.
• 계산 효율성과 대규모 시스템, 특히 매개변수 의존성이 있는 시스템에의 적용 가능성을 확보하는 것.
• 정량적 차수 감소를 통한 수치적 벤치마크를 통해 기존 방법들에 비해 본 방법의 우수성을 입증하는 것.

제안 방법

• 복소 주파수 평면과 매개변수 공간에서의 일정 수의 보간 점을 사용하여 보간 기반 MOR을 활용해 저차원 모델을 구성하는 것.
• 충분한 보간 점이 선택될 경우, 보간에서 유도된 투영 행렬이 시스템의 주요 가용 가능 부분공간과 관측 가능 부분공간을 포함함을 보여주는 것.
• 보간에서 유도된 투영 행렬의 특이값을 분석하여 주요 부분공간을 계산하는 새로운 알고리즘(알고리즘 4.1)을 제안하는 것.
• 식별된 주요 부분공간을 사용하여 페트로프-갈레르킨 투영을 적용하여 시스템의 구조를 유지하는 저차원 모델을 구성하는 것.
• 시스템의 동적 및 매개변수적 행동을 포괄하기 위해 로그 간격으로 분포된 주파수 점과 무작위 매개변수 샘플을 조합하여 사용하는 것.
• 특이값 감쇠 분석을 활용하여 저차원을 결정하며, 정밀도와 복잡도의 균형을 위해 특정 허용 오차(예: 10⁻¹⁵) 이하에서 잘라내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보간 기반 모델 순서 축소 방법은 구조적 매개변수 시스템의 가용 가능성 및 관측 가능성 부분공간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 그램 행렬 방정식을 풀지 않고도 보간 데이터로부터 주요 가용 가능 부분공간과 관측 가능 부분공간을 신뢰성 있게 식별할 수 있는가?
• RQ3 동시에 가장 가용 가능하고 관측 가능한 상태를 유지하는 저차원 모델을 구성할 수 있는가? 이는 더 낮은 차수로 더 높은 정확도를 가능하게 하는가?
• RQ4 이러한 방법은 대규모 매개변수 시스템에 대해 기존의 MOR 기법들과 비교해 정확도와 효율성 면에서 어떻게 뛰어나게 되는가?
• RQ5 이 방법은 높은 차원성과 복잡한 매개변수 의존성을 지닌 실제 공학 시스템에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 충분한 보간 점이 사용될 경우, 보간 기반 MOR에서 유도된 투영 행렬이 주요 가용 가능 부분공간과 관측 가능 부분공간을 포함함을 보여주며, 이는 그램 행렬 방정식을 풀지 않고도 부분공간을 식별할 수 있음을 의미한다.
• 제안된 방법은 대규모 자이로스코프 모델(n=17,913)에 대해 80차원 저차원 모델을 생성하였으며, 유사한 정확도를 확보하기 위해 이전 방법이 210차원이 필요로 했던 것에 비해 뛰어난 성능을 보였다.
• 보드 플롯 비교 결과, 다양한 매개변수 설정에서 원래 시스템과 유사한 응답을 보였으며, 관심 주파수 대역에서 근본적인 오차가 거의 없었다.
• 특이값 감쇠 분석은 주요 부분공간에서 급격한 감쇠를 확인하였으며, 이는 10⁻¹⁵ 이하에서 잘라내는 것이 타당하며, 컴act한 저차원 모델을 도출할 수 있음을 뒷받침한다.
• 이 방법은 계산적으로 효율적이며 확장 가능하여, 그램 행렬 계산이 아닌 보간과 특이값 분석에 기반함으로써 대규모 시스템에 적합하다.
• 이 접근법은 제2차 시스템, 시간 지연 시스템, 분수 차수 시스템과 같은 복잡한 구조를 지닌 시스템, 특히 매개변수 의존성이 있는 경우에도 구조를 유지하는 모델 순서 축소를 가능하게 한다.