[논문 리뷰] Ill-posedness for the incompressible Euler equations in critical Sobolev spaces

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 25.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비압축성 옐러 방정식의 강한 불안정성을 임계 소볼레프 공간 $H^1$에서 입증한다. 초기 비타시티가 매끄럽고 국소화되어 있으며, $H^1 \cap L^\infty$ 노름이 임의로 작은 경우, 짧은 시간 내에 $H^1$ 노름이 급격히 증가함을 보인다. 이 메커니즘은 원점 주위에 홀수-홀수 대칭성을 가진 비타시티가 초구형 유동을 생성하여 비타시티 기울기를 늘리며, $t>0$일 때 즉시 $H^1$ 정규성의 손실을 초래한다. 이는 $L^\infty \cap H^1$에 속하는 초기 자료로부터조차도 발생한다. 이는 임계 정규성 공간에서 노름의 증가와 즉각적인 $H^1$에서의 탈출을 입증한다.

ABSTRACT

For the $2D$ Euler equation in vorticity formulation, we construct localized smooth solutions whose critical Sobolev norms become large in a short period of time, and solutions which initially belong to $L^\infty \cap H^1$ but escapes $H^1$ immediately for $t>0$. Our main observation is that a localized chunk of vorticity bounded in $L^\infty \cap H^1$ with odd-odd symmetry is able to generate a hyperbolic flow with large velocity gradient at least for a short period of time, which stretches the vorticity gradient.

연구 동기 및 목표

• 2차원 비압축성 옐러 방정식이 임계 소볼레프 공간 $H^1(\mathbb{T}^2)$에서 강한 불안정성을 띠며, 초기 자료가 매끄럽더라도 정규성이 즉시 손실될 수 있음을 입증한다.
• 초기 자료가 $L^\infty \cap H^1$에 속하더라도 $t>0$일 때 해가 $H^1$에서 즉시 탈출할 수 있음을 보여, $H^1$에서의 연속적 의존성과 모순된다.
• 초기 자료를 단순하고 명시적으로 구성하여 $H^1$에서의 노름 증가와 $1 \leq s < 6/5$, $sp=2$인 $W^{s,p}$ 공간에서의 탈출을 입증함으로써, 불안정성의 범위를 더 넓은 임계 공간으로 확장한다.
• 임계 공간에서 잘 정의된 성질이 기대되는 데 반해, $H^1$이 속도 기울기를 제어하지 못함으로써 빠른 비타시티 기울기 증가가 가능해지는 바, 이는 $H^1$이 립시츠 정규성을 갖지 못하기 때문이다.

제안 방법

• 원점 주위에 홀수-홀수 대칭성을 가지며 국소화된 매끄러운 초기 비타시티 $\omega_0$를 구성하여, 컴팩트 지지와 작은 $H^1 \cap L^\infty$ 노름을 확보한다.
• Bahouri-Chemin 정적 해를 배경으로 하되, 국소화된 $C^\infty$ 편향을 도입하여 $H^1$-정규성을 확보한다. 형태는 $\omega_0(x_1,x_2) = \Delta(x_1x_2 |\ln|x||^2)$이다.
• Kiselev와 Šverák의 핵심 보조정리를 활용하여 라그랑주 유동 지도 $\Phi(t,x)$를 분석함으로써 속도 기울기의 성장을 통제한다. 이는 원점 근처에서 초구형 늘림을 보인다.
• 비타시티 기울기가 운반 방정식 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega = 0$을 통해 증폭됨을 보인다. 여기서 $u$는 비타시티 $\omega$를 바이오-사바르 법칙으로 유도한다.
• 시간 도함수를 이용하여 $\|\nabla \omega(t)\|_{L^2}$의 성장을 추정함으로써 $H^1$ 노름이 급격히 증가함을 증명한다. 이는 속도 기울기 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$가 흐름 내에서 로그 성장함에 따라 커지기 때문이다.
• 해는 $t>0$일 때 공간에서 여전히 $C^\infty$이지만, 임의의 $\delta>0$에 대해 $L^\infty([0,\delta); H^1)$에 속하지 않으며, 이는 즉각적인 $H^1$ 정규성의 손실을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의로 작은 $H^1$ 노름을 가진 매끄럽고 국소화된 초기 자료 $\omega_0 \in L^\infty \cap H^1$가 존재할 경우, 임의로 짧은 시간 내에 $H^1$ 노름이 임의로 크게 증가하는가? 이는 임계 공간 $H^1$에서의 노름 증가를 입증한다.
• RQ2 $H^1$에 속하는 초기 자료로부터 유도된 해가 $t>0$일 때 즉시 $H^1$에서 탈출할 수 있는가? 이는 초기 자료가 매끄럽고 컴팩트 지지일지라도 성립한다.
• RQ3 $H^1$에서의 불안정성은 $1 \leq s < 6/5$ 및 $sp=2$인 $W^{s,p}$ 공간으로 확장될 수 있는가? 또는 $1 \leq s < 2$인 $W^{s,p}$ 공간으로까지 확장되는가?
• RQ4 $H^1$ 노름 증가의 원인이 $\omega \in H^1$일 때 속도가 립시츠 정규성을 갖지 못하기 때문이며, 이는 초구형 흐름의 구조와 정량적으로 연결될 수 있는가?
• RQ5 $H^1$ 정규성의 손실이 $W^{1,p}$ 노름의 최적 감쇠율을 고려할 때 날카로운 성질을 띠는가? 이는 존-니레버그 유형 추측과 일치하는가?

주요 결과

• 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, $\|\omega_0\|_{H^1 \cap L^\infty} < \epsilon$ 이며 $\mathrm{supp}(\omega_0) \subset B_0(\epsilon)$인 매끄럽고 컴팩트 지지된 초기 비타시티 $\omega_0 \in C^\infty(\mathbb{T}^2)$가 존재하여, 어떤 $0 < t < \epsilon$에 대해 $\|\omega(t,\cdot)\|_{H^1} > \epsilon^{-1}$임을 보여, $H^1$에서의 노름 증가를 입증한다.
• $1 \leq s < 6/5$ 및 $sp=2$인 $L^\infty \cap W^{s,p}$에 속하는 초기 자료 $\omega_0$가 존재하여, 임의의 $t_0 > 0$에 대해 $\mathrm{ess\text{-}sup}_{0<t\leq t_0} \|\omega(t,\cdot)\|_{H^1} = +\infty$임을 보여, 즉각적인 $H^1$ 탈출을 입증한다.
• 이 구성은 $1 \leq s < 2$인 $W^{s,p}$ 공간으로 확장되어, 초기 자료가 $L^\infty \cap W^{s,p}$에 속하지만 $t>0$일 때 $W^{s,p}$-노름이 무한해지는 것으로, 더 넓은 범위에서 정규성 제어의 실패를 입증한다.
• 이 메커니즘은 홀수-홀수 대칭 비타시티가 초구형 흐름을 생성하여 속도 기울기를 $\ln(1/x_2)$ 비슷하게 증가시키며, 비타시티 기울기를 늘려 $H^1$ 노름 증가를 이끈다.
• 해는 $t>0$일 때 공간에서 여전히 $C^\infty$이지만, 임의의 $\delta>0$에 대해 $L^\infty([0,\delta); H^1)$에 속하지 않으며, 이는 $H^1$ 정규성이 매끄러운 초기 자료로부터도 유지되지 않음을 확인한다.
• $H^1$에서 속도가 립시츠 정규성을 갖지 못함이 불안정성의 근본 원인이다. 이는 속도 기울기가 충분히 증가하여 비타시티를 늘리고 $H^1$ 제어를 파괴할 수 있도록 허용한다.