[논문 리뷰] Improved Approximation Algorithms for Individually Fair Clustering

Ali Vakilian, Mustafa Yalçiner|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 26.

Facility Location and Emergency Management참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℓp-노름 비용 기준으로 개별적으로 공정한 클러스터링을 위한 향상된 이중기준 근사 알고리즘을 제안한다. 일반적인 p > 1에 대해 (16^p + ε, 3)-근사와 k-median(p=1)에 대해 (7.081 + ε, 3)-근사를 달성한다. 이 접근법은 매트로이드 제약 조건이 있는 시설 위치 문제로 확장되며, 공정한 클러스터링을 그룹 공정성 문제로 환원함으로써 이전의 (p^O(p), 7) 보장을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

We consider the $k$-clustering problem with $\ell_p$-norm cost, which includes $k$-median, $k$-means and $k$-center, under an individual notion of fairness proposed by Jung et al. [2020]: given a set of points $P$ of size $n$, a set of $k$ centers induces a fair clustering if every point in $P$ has a center among its $n/k$ closest neighbors. Mahabadi and Vakilian [2020] presented a $(p^{O(p)},7)$-bicriteria approximation for fair clustering with $\ell_p$-norm cost: every point finds a center within distance at most $7$ times its distance to its $(n/k)$-th closest neighbor and the $\ell_p$-norm cost of the solution is at most $p^{O(p)}$ times the cost of an optimal fair solution. In this work, for any $\varepsilon>0$, we present an improved $(16^p +\varepsilon,3)$-bicriteria for this problem. Moreover, for $p=1$ ($k$-median) and $p=\infty$ ($k$-center), we present improved cost-approximation factors $7.081+\varepsilon$ and $3+\varepsilon$ respectively. To achieve our guarantees, we extend the framework of [Charikar et al., 2002, Swamy, 2016] and devise a $16^p$-approximation algorithm for the facility location with $\ell_p$-norm cost under matroid constraint which might be of an independent interest. Besides, our approach suggests a reduction from our individually fair clustering to a clustering with a group fairness requirement proposed by Kleindessner et al. [2019], which is essentially the median matroid problem [Krishnaswamy et al., 2011].

연구 동기 및 목표

• ℓp-노름 비용 함수 기준으로 개별적으로 공정한 클러스터링에 대한 효율적인 근사 알고리즘이 부족한 점을 보완하기 위해.
• 이전의 (p^O(p), 7)-이중기준 근사 보장에 비해 향상된 개별적으로 공정한 ℓp-비용 기반 k-클러스터링을 위한 근사 알고리즘 개선을 위해.
• 특히 k-median 및 k-center 변형에 대해 더 나은 공정성 및 비용 근사 요인 확보를 위해.
• 독립적인 관심을 가질 수 있는 ℓp-비용 기반 매트로이드 제약 조건이 있는 새로운 시설 위치 알고리즘 개발을 위해.
• 개별적으로 공정한 클러스터링 문제를 중앙값 매트로이드 문제를 통해 그룹 공정성 문제로 환원하기 위해.

제안 방법

• Charikar 등(2002)과 Swamy(2016)의 시설 위치 프레임워크를 매트로이드 제약 조건이 있는 ℓp-비용으로 확장한다.
• 핵심 결과의 중심이 되는 ℓp-비용 기반 매트로이드 제약 조건이 있는 시설 위치 문제에 대해 16^p-근사 알고리즘을 제안한다.
• 점 집합의 비중심 영역 분해를 활용하여 점들을 (n/k)-근접 이웃 거리 기준으로 그룹화한다.
• 비중심 영역 내의 점들에 복제본을 포함하는 변환된 인스턴스 P'를 구성하고, 중심 분포를 보장하기 위해 분할 매트로이드 제약 조건을 적용한다.
• 변환된 인스턴스에 중심 분할 알고리즘을 적용하여 공정성과 비용 한계를 유지하는 해를 계산한다.
• 중심값 매트로이드 문제를 통해 개별적으로 공정한 클러스터링 문제를 그룹 공정성 문제로 환원함으로써, 기존의 근사 기법을 활용할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개별적으로 공정한 ℓp-클러스터링에 대해 이전의 (p^O(p), 7) 보장보다 더 나은 공정성 및 비용 근사 요인을 달성할 수 있는가?
• RQ2 k-median 및 k-center에 대해 개별 공정성 하에서 상수 요인 비용 근사가 가능한가?
• RQ3 ℓp-비용 기반 매트로이드 제약 조건이 있는 시설 위치 문제에 대해 16^p 이내의 근사가 가능한가?
• RQ4 중심값 매트로이드 문제를 통한 개별적으로 공정한 클러스터링에서 그룹 공정성 문제로의 환원이 개선된 근사 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 공정성의 이중기준 근사 요인을 7에서 3으로 줄일 수 있으며, 同시에 상수 비용 근사 보존이 가능한가?

주요 결과

• 논문은 ℓp-비용 기반 α-공정 k-클러스터링에 대해 (16^p + ε, 3)-이중기준 근사 성과를 달성하여 이전의 (p^O(p), 7) 보장보다 향상시켰다.
• k-median(p=1)에 대해 (7.081 + ε, 3)-이중기준 근사를 달성하였으며, 이는 이전의 (84, 7) 결과보다 크게 향상된 것이다.
• k-center(p=∞)에 대해 (3 + ε, 3)-이중기준 근사를 달성하였으며, 이는 이전의 (O(log n), 7) 한계를 초월한다.
• 매트로이드 제약 조건이 있는 ℓp-비용 기반 시설 위치 문제에 대해 새로운 16^p-근사 알고리즘을 개발하였으며, 이는 독립적인 관심을 가질 수 있다.
• 중심값 매트로이드 문제를 통한 그룹 공정성 문제로의 환원은 기존의 근사 기법을 활용하여 더 나은 공정성 및 비용 한계를 달성할 수 있도록 한다.
• 비용 근사 요인은 β + ε로 유한하며, 여기서 β는 기반 시설 위치 알고리즘의 근사 비율이고, ε는 임의로 작은 덧셈 오차를 允許한다.