[논문 리뷰] Improved implementation of reflection operators

Anirban Narayan Chowdhury, Yiğit Subaşı외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 위상 추정보다 지수적으로 적은 보조 큐비트를 사용하여 유니터리 연산자의 고유벡터 위에서의 근사 반사 연산자를 구현하는 양자 알고리즘을 제시한다. 이로 인해 큐비트 요구량은 O(log(1/ε)log(1/Δ))에서 O(log log(1/ε) + log(1/Δ))로 감소하며, 게이트 및 쿼리 복잡도는 위상 추정과 유사하게 유지된다. 이 방법은 선형 조합의 유니터리(Linear Combinations of Unitaries, LCU)와 막힘 없는 앰플리튜드 증폭(Oblivious Amplitude Amplification, OAA)을 결합하여 검색, 최적화 및 이브리어디어틱 상태 준비와 같은 양자 알고리즘에서 중요한 자원 절감을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Quantum algorithms for diverse problems, including search and optimization problems, require the implementation of a reflection operator over a target state. Commonly, such reflections are approximately implemented using phase estimation. Here we use a linear combination of unitaries and a version of amplitude amplification to approximate reflection operators over eigenvectors of unitary operators using exponentially less ancillary qubits in terms of a precision parameter. The gate complexity of our method is also comparable to that of the phase estimation approach in a certain limit of interest. Like phase estimation, our method requires the implementation of controlled unitary operations. We then extend our results to the Hamiltonian case where the target state is an eigenvector of a Hamiltonian whose matrix elements can be queried. Our results are useful in that they reduce the resources required by various quantum algorithms in the literature. Our improvements also rely on an efficient quantum algorithm to prepare a quantum state with Gaussian-like amplitudes that may be of independent interest. We also provide a lower bound on the query complexity of implementing approximate reflection operators on a quantum computer.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 연산자의 고유벡터 위에서의 근사 반사 연산자를 구현하기 위해 필요한 보조 큐비트 수를 줄이는 것.
• 위상 추정에 비해 큐비트 오버헤드를 크게 줄이면서도 낮은 게이트 및 쿼리 복잡도를 유지하는 것.
• 쿼리로 접근 가능한 행렬 원소를 가진 해밀토니안 H의 고유벡터 위에서의 반사 구현을 위한 프레임워크를 해밀토니안 케이스로 확장하는 것.
• 반사 구현의 쿼리 복잡도에 대한 하한을 제시하여 이론적 한계를 설정하는 것.

제안 방법

• 반사 연산을 제어된 유니터리 진동의 초위상으로 분해하기 위해 선형 조합의 유니터리(LCU)를 사용한다.
• 사전에 목표 상태에 대한 지식이 없이도 원하는 성분을 증폭하기 위해 막힘 없는 앰플리튜드 증폭(Oblivious Amplitude Amplification, OAA)의 변종을 적용한다.
• 가우시안 유사 진폭을 가진 상태를 효율적으로 준비하는 양자 알고리즘을 활용하여 반사 구축에서 자원 상태로 사용한다.
• Δ = O(1/log(1/ε))인 극한에서 게이트 복잡도를 감소시키기 위해 근사 양자 푸리에 변환을 활용한다.
• 특히 준비된 가우시안 유사 초위상 상태로 초기화된 보조 큐비트를 사용하여 U와 U†의 제어 응용을 조합하여 반사 연산자를 구성한다.
• 해밀토니안 H의 행렬 원소에 대한 쿼리 액세스를 활용하여, 해밀토니안의 고유벡터 위에서의 반사를 가능하게 하여 프레임워크를 해밀토니안 케이스로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상 추정보다 지수적으로 적은 보조 큐비트로 유니터리 연산자의 고유벡터 위에서의 반사 연산자를 구현할 수 있는가?
• RQ2 목표 고유벡터 위에서 ε-근사 반사를 실현하기 위해 필요한 최소 쿼리 및 게이트 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 선형 조합의 유니터리와 막힘 없는 앰플리튜드 증폭의 사용이 위상 추정에 비해 자원 효율성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이 방법은 목표 상태가 쿼리로 접근 가능한 행렬 원소를 가진 해밀토니안의 고유벡터인 경우로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이러한 근사 반사 구현의 쿼리 복잡도에 대한 이론적 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 위상 추정에서의 O(log(1/ε)log(1/Δ)) 보다 O(log log(1/ε) + log(1/Δ))로 보조 큐비트 수를 줄여 지수적 향상을 달성한다.
• 게이트 복잡도는 O(log(1/Δ) log(log(1/Δ)/ε))이며, Δ = O(1/log(1/ε))인 극한에서 위상 추정과 유사하다.
• 쿼리 복잡도는 O(log(1/ε)/Δ)로 유지되며, 위상 추정 방식과 동일하며, 로그 인자들을 제외한 이론적 하한과 일치한다.
• 가우시안 유사 진폭을 가진 상태를 준비하는 새로운 양자 알고리즘이 개발되었으며, 이는 다른 양자 알고리즘에서도 독립적으로 유용할 수 있다.
• ε = O(Δ)인 경우에 대해 쿼리 복잡도에 대한 하한을 Ω((1/Δ)√log(1/(Δ+ε)))로 설정하여, 이 영역에서의 방법의 거의 최적성( near-optimality)을 입증한다.
• 해밀토니안 케이스로의 확장에서 n_H = O(log log(1/ε) + log(1/Δ))의 보조 큐비트를 달성하여 위상 추정을 초월하고 최고의 알려진 결과와 일치한다.