[논문 리뷰] Improved Quantum Ternary Arithmetics

Alex Bocharov, Shawn X. Cui외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼진 가역 및 양자 산술을 위한 최적화된 양자 회로를 제시하며, 두 가지 효율적인 가산기 설계를 도입한다: 깊이 O(n)이고 단 1개의 앤시라를 사용하는 삼진 리버브 가산기와 깊이 O(log n)이며 O(n)의 앤시라를 사용하는 캐리 레이크가산기. 이 방법은 두 가지 게이트 세트—제어된 인크리먼트 게이트 C(X) 또는 P9 위상 게이트—를 통해 분해된 비클리포드 반사(reflection)를 사용하여, 두 가지 다른 양자 아키텍처에서 정확한 합성 가능하게 하며, 삼진 다항식을 이용한 대각 유니터리의 인수분해를 위한 새로운 방법을 제시한다.

ABSTRACT

Qutrit (or ternary) structures arise naturally in many quantum systems, particularly in certain non-abelian anyon systems. We present efficient circuits for ternary reversible and quantum arithmetics. Our main result is the derivation of circuits for two families of ternary quantum adders, namely ripple carry adders and carry look-ahead adders. The main difference to the binary case is the more complicated form of the ternary carry, which leads to higher resource counts for implementations over a universal ternary gate set. Our ternary ripple adder circuit has a circuit depth of $O(n)$ and uses only $1$ ancilla, making it more efficient in both, circuit depth and width than previous constructions. Our ternary carry lookahead circuit has a circuit depth of only $O(\log\,n)$, while using with $O(n)$ ancillas. Our approach works on two levels of abstraction: at the first level, descriptions of arithmetic circuits are given in terms of gates sequences that use various types of non-Clifford reflections. At the second level, we break down these reflections further by deriving them either from the two-qutrit Clifford gates and the non-Clifford gate $C(X): |i,j angle \mapsto |i, j + δ_{i,2} \mod 3 angle$ or from the two-qutrit Clifford gates and the non-Clifford gate $P_9=\mbox{diag}(e^{-2 π\, i/9},1,e^{2 π\, i/9})$. The two choices of elementary gate sets correspond to two possible mappings onto two different prospective quantum computing architectures which we call the metaplectic and the supermetaplectic basis, respectively. Finally, we develop a method to factor diagonal unitaries using multi-variate polynomial over the ternary finite field which allows to characterize classes of gates that can be implemented exactly over the supermetaplectic basis.

연구 동기 및 목표

• 삼진 산술, 특히 가산기의 효율적인 양자 회로 설계를 통해 회로 깊이와 폭을 모두 최소화하는 것.
• 삼진 양자 계산을 위한 두 가지 다른 보편 게이트 세트에서 대각 및 제어된 위상 게이트의 정확한 합성 가능하게 하는 것.
• 특히 쇼어의 인수분해와 같은 산술 중심 알고리즘에 적합한 고전적 가역 회로를 삼진 시스템으로 표현하는 것의 탐색.
• 유한체 F3 위에서의 다변수 다항식을 이용한 대각 유니터리의 인수분해를 위한 프레임워크 개발.
• 삼진 양자 계산을 위한 두 보편 게이트 기반—메타플레크틱 및 슈퍼메타플레크틱—간의 구조적 차이점과 상호 교환 가능성 탐구.

제안 방법

• 저자들은 이중 추상화 수준을 사용한다: 먼저 비클리포드 반사를 순서로 기술한 후, C(X) 또는 P9 게이트 세트에서의 기본 게이트로 분해한다.
• F3 위에서의 다항식 매개변수화와 Z 위에서의 다항식 매개변수화를 사용하여 제어-제어-Z 게이트(bigwedge(Z))와 이중 제어 Z 게이트(C2(Z))의 정확한 구현을 유도함으로써 슈퍼메타플레크틱 기반에서의 정확한 합성 가능하게 한다.
• 핵심 기법은 F3 위에서의 다변수 다항식의 지수로 대각 게이트를 표현하는 것으로, 계수는 정수이며 P9 및 클리포드 게이트로의 정확한 분해를 가능하게 한다.
• 이 방법은 삼진 유한체의 대수적 구조를 활용하여 이차 항을 고차수 ζ9 위상으로 흠집내어 게이트 분해를 단순화한다.
• 회로는 클리포드 게이트, P9 위상 회전, 제어된 인크리먼트 연산을 사용하여 구성되며, bigwedge(Z) 및 C2(Z)에 대한 명시적 회로도가 제공된다.
• 이 방법은 삼진 산술 회로에 필수적인 bigwedge(Z) 및 C2(Z) 게이트의 정확한 실행을 가능하게 하며, 27개의 선형 방정식을 9로 나눈 나머지에 대한 연립방정식을 해결함으로써 실현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 앤시라와 낮은 회로 깊이를 가진 효율적인 삼진 양자 가산기를 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떻게 보편적인 삼진 게이트 세트에서 대각 유니터리 게이트를 정확하게 합성할 수 있는가?
• RQ3 C(X)와 P9를 비클리포드 자원으로 사용할 경우 삼진 회로에서의 구조적 차이점과 상호 교환 가능성은 무엇인가?
• RQ4 F3 위에서의 다변수 다항식을 사용하여 대각 양자 게이트를 체계적으로 특성화하고 분해할 수 있는가?
• RQ5 덧셈과 비교와 같은 기본 삼진 산술 연산을 구현하는 데 필요한 최소 자원 비용은 얼마인가?

주요 결과

• 삼진 리버브 가산기는 단 1개의 앤시라를 사용하면서도 O(n)의 회로 깊이를 달성하여 이전의 설계들보다 깊이와 폭 모두에서 뛰어난 성능을 보인다.
• 삼진 캐리 레이크가산기는 O(n)의 앤시라를 사용함으로써 깊이를 O(log n)으로 감소시켜 더 빠른 산술 연산을 가능하게 한다.
• 논문은 슈퍼메타플레크틱 기반에서 bigwedge(Z) 게이트의 정확한 분해를 제공하며, 27개의 선형 방정식을 9로 나눈 나머지에 대해 해결하여 해를 도출하였다.
• 동일한 방법을 사용하여 C2(Z) 게이트를 위한 회로를 구성하였으며, 고차수 제어 위상 게이트의 정확한 합성을 입증하였다.
• 이 방법은 슈퍼메타플레크틱 기반에서 bigwedge(Z) 및 C2(Z) 게이트의 정확한 실행을 가능하게 하여 산술 알고리즘에 있어 핵심적인 역할을 한다.
• 이 프레임워크는 삼진 다항식 매개변수화를 통해 정확하게 실행 가능한 대각 게이트의 전체 클래스를 특성화할 수 있다.