[논문 리뷰] Incorporating Voice Permutations into the Theory of Neo-Riemannian Groups and Lewinian Duality

Thomas M. Fiore, Thomas Noll외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 17.

Musicology and Musical Analysis참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $T/I$-$PLR$ 이중성 프레임워크에 음역 순열을 통합함으로써 신-리만 이론의 기초적 문제를 해결한다. $n$-튜플에서 음계 클래스가 모두 다른 경우에 대해 순열군의 이중군이 $\mathbb{Z}_{12}\to\mathbb{Z}_{12}$의 아핀 사상의 이중군의 내부 직접곱과 동형임을 보여주며, 주요 결과는 기존에 고정점으로 인해 문제시되던 $\mathrm{RICH}$ 변환이 8음계 부분집합으로 제한될 경우 단순 전이적 군 작용의 일부가 되어 쇤버그의 Op. 7과 리스트의 S. 201과 같은 음악적 예시에서 일관된 비용이 적은 음역 이동을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A familiar problem in neo-Riemannian theory is that the P, L, and R operations defined as contextual inversions on pitch-class segments do not produce parsimonious voice leading. We incorporate permutations into T/I-PLR-duality to resolve this issue and simultaneously broaden the applicability of this duality. More precisely, we construct the dual group to the permutation group acting on n-tuples with distinct entries, and prove that the dual group to permutations adjoined with a group G of invertible affine maps Z12 -> Z12 is the internal direct product of the dual to permutations and the dual to G. Musical examples include Liszt, R. W. Venezia, S. 201 and Schoenberg, String Quartet Number 1, Opus 7. We also prove that the Fiore--Noll construction of the dual group in the finite case works, and clarify the relationship of permutations with the RICH transformation.

연구 동기 및 목표

• 신-리만 이론에서 $PLR$ 변환과 음역 이동의 비용 절감 간의 불일치를 해결하기 위해, $\mathrm{RICH}$ 변환이 고정점을 지닌다는 점으로 인해 비용 절감 음역 이동을 생성하지 못하는 문제를 해결한다.
• 기존의 $T/I$-$PLR$ 이중성을 음계 클래스 세그먼트에서 음역의 순열을 포함하도록 확장하여 변환 음악 이론의 범위를 넓힌다.
• 순열군 $\Sigma_n$과 $T/I$ 군의 반직접곱의 이중군이 각 성분의 이중군의 내부 직접곱과 동형임을 증명한다.
• $\mathrm{RICH}$ 변환이 음역 이동의 비용 절감과의 호환성 및 제한된 음계 클래스 집합 위에서 단순 전이적 군 작용에 기여하는 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• Fiore–Noll 이중성 프레임워크를 사용하여 $\mathbb{Z}_{12}$의 서로 다른 원소로 이루어진 $n$-튜플 위에서 작용하는 순열군의 이중군을 구성한다.
• 순열군 $\Sigma_n$과 $T/I$ 군의 반직접곱의 이중군이 $\Sigma_n$의 이중군과 $T/I$의 이중군의 내부 직접곱과 동형임을 증명한다.
• $\mathrm{RICH}$ 변환을 음역 교환 $(1\;3)$과 문맥적 역전 $J^{2,3}$의 합성으로 정의하여 후행 역전 연결을 모델링한다.
• 메이저 및 마이너 삼성도의 144개 순열 전부에 대해 $\mathrm{RICH}$의 순환 분해를 분석하여 고정점과 궤도 구조를 확인한다.
• $\mathrm{RICH}$의 작용을 8음계 부분집합(예: $\{0,2,3,4,6,7,9,10\}$)으로 제한하여 고정점을 제거하고 단순 전이적 군 작용을 달성한다.
• 명시적 순환 표기법과 음악적 예시(쇤버그의 Op. 7, 리스트의 S. 201)를 사용하여 $\mathrm{RICH}$가 특정 부분집합에서 단순 전이적으로 작용함을 보이며, 이로써 비용이 적은 음역 이동이 가능함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 음역 순열을 어떻게 $T/I$-$PLR$ 이중성 프레임워크에 공식적으로 통합할 수 있으며, 이를 통해 음역 이동의 비용 절감을 복원할 수 있는가?
• RQ2 $\mathrm{RICH}$ 변환이 전체 144개 순서 삼성도 집합에서 단순 전이적으로 작용하지 못하는 이유는 무엇이며, 이 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ3 신-리만 이론에서 순열군이 $T/I$ 군과 결합될 경우 이중군의 군론적 구조는 어떠한가?
• RQ4 $\mathrm{RICH}$ 변환이 음계 클래스 세그먼트의 부분집합에서 단순 전이적 군 작용에 포함될 수 있는가? 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ5 다른 삼성도 부분집합(예: 8음계 스케일)에서 $\mathrm{RICH}$의 순환 분해는 음악적 음역 이동과 변환 네트워크와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 순열군 $\Sigma_n$과 $T/I$ 군의 반직접곱의 이중군은 $\Sigma_n$의 이중군과 $T/I$의 이중군의 내부 직접곱과 동형이며, 이는 이중성 이론의 기초적 문제를 해결한다.
• $\mathrm{RICH}$ 변환은 $(1\;3) \circ J^{2,3}$로 정의되며, 모든 144개의 메이저 및 마이너 삼성도 순열에 대해 고정점을 지닌다. 이는 단순 전이적 군 작용의 일부가 될 수 없음을 의미한다.
• 8음계 부분집합(예: $\{0,2,3,4,6,7,9,10\}$)으로 제한된 경우, $\mathrm{RICH}$ 변환은 고정점이 없고 순환 분해를 통해 단순 전이적으로 작용함을 입증한다.
• $\mathrm{RICH}$ 변환은 길이 24(예: $RL$), 8(예: $PR$), 6(예: $PL$)의 순환을 포함하며, 6제곱과 8제곱은 고정점을 지닌다. 이는 전체 집합에서의 비단순 전이적 작용을 확인한다.
• 쇤버그의 1번 현악 사중주 Op. 7과 리스트의 *Venezia e destruzione*, S. 201의 음악적 예시에서 $\mathrm{RICH}$가 8음계 부분집합에서 단순 전이적으로 작용함을 보이며, 이로써 비용이 적은 음역 이동이 가능하다.
• 8음계 스케일 $\{2,3,5,6,8,9,11,0\}$에서 $\mathrm{RICH}$ 변환의 작용은 길이 8의 순환을 포함하며, 이는 8–10小절의 첼로 모티프와 일치하여 음악적 관련성을 확인한다.