[논문 리뷰] Increasing and Decreasing Subsequences of Permutations and Their Variants

Richard P. Stanley|ArXiv.org|2005. 12. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 86인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순열에서 증가 및 감소 부분수열에 대한 종합적인 조사를 제공하며, RSK 알고리즘, 랜덤 행렬 이론, 표현 이론과의 연결을 다룬다. 주요 기여는 트레이시-위드먼 분포를 통한 최장 증가 부분수열 길이의 渐近적 한계 분포의 결정이며, 이를 통해 치환의 특수한 경우인 치환, 매칭, 집합 분할로의 확장이 이루어진다.

ABSTRACT

We survey the theory of increasing and decreasing subsequences of permutations. Enumeration problems in this area are closely related to the RSK algorithm. The asymptotic behavior of the expected value of the length is(w) of the longest increasing subsequence of a permutation w of 1,2,...,n was obtained by Vershik-Kerov and (almost) by Logan-Shepp. The entire limiting distribution of is(w) was then determined by Baik, Deift, and Johansson. These techniques can be applied to other classes of permutations, such as involutions, and are related to the distribution of eigenvalues of elements of the classical groups. A number of generalizations and variations of increasing/decreasing subsequences are discussed, including the theory of pattern avoidance, unimodal and alternating subsequences, and crossings and nestings of matchings and set partitions.

연구 동기 및 목표

• 순열의 증가 및 감소 부분수열 이론과 그 변형을 체계적으로 조사하기.
• 최장 증가 부분수열의 분포와 랜덤 행렬 이론 및 표현 이론의 깊은 결과 사이의 연결 고리 설정하기.
• 기존 순열 이론을 치환의 특수한 클래스인 치환, 매칭, 집합 분할과 같은 조합적 구조로 확장하기.
• 대칭 함수와 대수적 구조를 기반으로 한 통합 이론 프레임워크 내에서 매칭의 교차와 중첩과 같은 다양한 조합적 구조를 통합하기.

제안 방법

• 순열을 표준 양-테이블로의 쌍과 연결하기 위해 로빈슨-셰너스테드-컨트리브스(RSK) 대응을 사용한다.
• 증가 및 감소 부분수열의 경계에 대한 기본 결과로 에르되시-세케르스 정리를 적용한다.
• 랜덤 순열에서 최장 증가 부분수열 길이의 한계 분포를 기술하기 위해 트레이시-위드먼 분포를 활용한다.
• 주어진 부분수열 길이를 가진 순열의 수를 주어진 형상의 표준 양-테이블의 수를 통해 RSK 알고리즘을 통해 세는 데 사용한다.
• 교차 및 중첩 수가 제한된 매칭의 수를 세기 위해 전이 행렬 방법과 생성 함수를 적용한다.
• 매칭에서의 교차 및 중첩 분포와 치환에서 감소 부분수열의 분포 사이의 연결 고리를, 진동하는 테이블로의 전단사에 의해 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하게 랜덤한 순열에서 최장 증가 부분수열 길이의 渐近적 분포는 무엇인가?
• RQ2 매칭에서의 교차 및 중첩 분포는 치환에서 감소 부분수열의 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 크기가 커질수록 균일하게 랜덤한 매칭에서 중첩 수나 교차 수의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ4 순열에 대한 결과는 치환과 집합 분할과 같은 특수한 클래스로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 교차 및 중첩의 조합론적 구조를 뒷받침하는 대수적 구조—예를 들어 브라우어 대수나 분할 대수—는 무엇인가?

주요 결과

• 크기 $ n $ 인 랜덤 순열에서 최장 증가 부분수열 길이의 한계 분포는 적절한 중심화 및 스케일링 후 트레이시-위드먼 분포로 수렴한다.
• 랜덤 매칭 $ M \notin \frak{M}_n $ 에 대해, 중첩 수 $ \text{ne}_n(M) $ 는 $ n \to \infty $ 일 때 $ \frac{\text{ne}_n(M) - \tilde{c}_n}{\tilde{d}_n} \to F(t)^{1/2} \exp\left(\frac{1}{2}\int_t^\infty u(s)ds\right) $ 분포로 수렴한다. 여기서 $ \tilde{c}_n = \sqrt{2n} $, $ \tilde{d}_n = (2n)^{1/6} $, $ F(t) $ 는 트레이시-위드먼 누적 분포 함수이다.
• 최대 $ p $ 개의 교차와 $ q $ 개의 중첩을 가진 매칭 수를 위한 생성 함수 $ H_{p,q}(x) $ 는 유리함수이며, 분모의 근은 $ m = p + q + 1 $ 을 포함하는余弦 합으로 표현할 수 있다.
• 주어진 최장 증가 부분수열 길이를 가진 순열의 수를 세는 표준 양-테이블의 수 $ f^\lambda $ 는 대칭군과 RSK 대응을 통해 표현 이론과 연결된다.
• 크기 $ 2n $ 인 치환에서 감소 부분수열의 분포는, 진동하는 테이블로의 전단사에 의해 매칭에서 교차 또는 중첩의 분포와 법적으로 동일하다.
• 브라우어 대수 $ \mathfrak{B}_n(x) $ 는 차원 $ \tilde{f}_n^\lambda $ 의 기약 표현을 가지며, 이는 주어진 교차 및 중첩 수를 가진 매칭 수의 표현 이론적 해석을 제공한다.