[논문 리뷰] Independence of the existence of Pitowsky spin models

Ilijas Farah, Menachem Magidor|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 01.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 체르멜로-프렝켈 집합론에 선택공리를 추가한 ZFC에서 피토프스키 스핀 모델—벨 유형의 금기정리들을 피하는 스핀 값들을 할당하는 함수—의 존재성이 독립적임을 확립한다. 이는 연속체가 실수 값의 가측 기수이거나 무작위 실수 모델인 경우 이러한 모델이 존재하지 않음을 보여주며, 그 존재성이 기초적인 집합론적 가정에 따라 달라짐을 시사함으로써 기초 물리학과 집합론을 연결한다.

ABSTRACT

In 1982 I. Pitowsky used Continuum Hypothesis to construct hidden variable models for spin-1/2 and spin-1 particles in quantum mechanics. We show that the existence of Pitowsky models is independent from ZFC.

연구 동기 및 목표

• 표준 집합론 내에서 스핀-1/2 입자에 값을 할당하는 비가측 함수인 피토프스키 스핀 함수가 존재할 수 있는지 조사하기.
• 이러한 함수의 존재성이 표준 집합론의 공리계인 ZFC와 독립적인지 결정하기.
• 이 독립성의 기초적 의미가 양자역학, 특히 숨겨진 변수 이론과 문맥성에 미치는 영향을 탐색하기.
• 특정 집합론적 가정(예: 르베그 측도의 σ-가환 확장 존재) 하에서 피토프스키 함수가 존재할 수 없음을 보여주기.
• 무작위 실수 모델과 같은 모델을 사용하여 이러한 함수의 존재하지 않음이 ZFC에 대해 상대적으로 일관됨을 확인하기.

제안 방법

• 큰 원과 코사인 가중 평균을 포함한 특정 대칭성 및 적분 조건을 만족하는 S² → [-1,1] 함수인 피토프스키 스핀 함수 F의 개념을 사용하기.
• 르베그 측도의 σ-가환 확장이 P(ℝ) 위에 존재한다면, 임의의 피토프스키 함수는 보렐 가측이어야 한다는 것을 측도 이론적 기법을 통해 보여주기.
• 프리드리슈와 프레ลม린의 측도 확장 및 무작위 실수 모델에 관한 결과를 활용하여, 이러한 모델들에서는 모든 피토프스키 함수가 보렐이므로 요구되는 비가측성과 맞지 않음을 보여주기.
• 함수에 대한 P-D-근사 개념을 활용하여, 필터 D의 외측 측도가 1인 집합들에서 보렐 함수로 근사가 가능한 함수는 반드시 보렐이어야 한다는 점을 보여주기.
• 값이 {0,1}인 KSP 함수(Kochen-Specker 유형 함수)를 분석하여, 동일한 가정 하에서 그 존재가 역시 금지됨을 증명하기.
• 포트망테오 정리와 연속 사상에 의한 보렐 가측성의 보존을 이용하여, 회전군과 하르 측도를 포함하는 적분의 보렐 성질을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피토프스키 스핀 함수의 존재성은 ZFC와 독립적인가?
• RQ2 르베그 측도의 P(ℝ) 위에 대한 σ-가환 확장 존재와 같은 더 강력한 집합론적 가정 하에서 이러한 함수의 존재가 배제될 수 있는가?
• RQ3 무작위 실수 모델에서 ZFC를 만족하지만 콜라츠 추측을 만족하지 않는 모델에서 피토프스키 스핀 함수가 존재하지 않는가?
• RQ4 기초적인 집합론적 선택이 양자역학에서 비가측 숨겨진 변수 모델의 구성 가능성에 얼마나 영향을 미치는가?
• RQ5 KSP 함수(코헨-스피커 문맥성 위반)의 존재성 역시 ZFC와 독립적임을 동일한 방식으로 보일 수 있는가?

주요 결과

• ℝ의 멱집합 위에 σ-가환 확장된 르베그 측도가 존재한다면, 피토프스키 스핀 함수는 존재할 수 없다.
• ZFC를 만족하지만 콜라츠 추측을 만족하지 않는 무작위 실수 모델에서는 피토프스키 스핀 함수가 존재하지 않는다.
• 연속체가 실수 값의 가측 기수(큰 기수 공리)임을 가정할 경우, 피토프스키 함수는 존재하지 않는다.
• 외측 측도가 1인 집합들의 필터 D에 대해 보렐 함수로 P-D-근사가 가능한 함수는 반드시 보렐이어야 하며, 이는 비가측 피토프스키 함수의 존재를 배제한다.
• 값이 {0,1}인 KSP 함수 중 거의 코헨-스피커 문맥성을 위반하는 함수 역시 동일한 가정 하에서 존재하지 않으며, 이 역시 보렐이어야 하므로 마찬가지로 배제된다.
• KSP 함수 F에 대한 적분 I_{a,b,c}(F)는 (5 - F(a))/8 와 같으며, F가 보렐이 아니면 이 식이 모순을 유도하므로 F가 보렐임을 증명하는 데 사용된다.