[논문 리뷰] Independent Set, Induced Matching, and Pricing: Connections and Tight (Subexponential Time) Approximation Hardnesses

Parinya Chalermsook, Bundit Laekhanukit외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 12.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 46인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 최신 연결 고리들을 통해 세 가지 기본적인 NP-난이도 문제—최대 독립집합, 유도 매칭, k-하이퍼그래프 가격 설정—에 대해 거의 날카로운 지수시간 이하의 근사 불가능성 결과를 확립한다. Exponential Time Hypothesis (ETH) 하에, 최대 독립집합에 대한 r-근사 알고리즘이 2^{n^{1−ε}/r^{1+ε}} 시간 이하로 작동할 수 없다는 것을 증명하며, 이는 현재 알려진 최상의 상한과 거의 일치한다. 유사하게, k-하이퍼그래프 가격 설정과 유도 매칭 문제에 대해서도 거의 최적의 난이도를 확립한다.

ABSTRACT

We present a series of almost settled inapproximability results for three fundamental problems. The first in our series is the subexponential-time inapproximability of the maximum independent set problem, a question studied in the area of parameterized complexity. The second is the hardness of approximating the maximum induced matching problem on bounded-degree bipartite graphs. The last in our series is the tight hardness of approximating the k-hypergraph pricing problem, a fundamental problem arising from the area of algorithmic game theory. In particular, assuming the Exponential Time Hypothesis, our two main results are: - For any r larger than some constant, any r-approximation algorithm for the maximum independent set problem must run in at least 2^{n^{1-ε}/r^{1+ε}} time. This nearly matches the upper bound of 2^{n/r} (Cygan et al., 2008). It also improves some hardness results in the domain of parameterized complexity (e.g., Escoffier et al., 2012 and Chitnis et al., 2013) - For any k larger than some constant, there is no polynomial time min (k^{1-ε}, n^{1/2-ε})-approximation algorithm for the k-hypergraph pricing problem, where n is the number of vertices in an input graph. This almost matches the upper bound of min (O(k), ilde O(\sqrt{n})) (by Balcan and Blum, 2007 and an algorithm in this paper). We note an interesting fact that, in contrast to n^{1/2-ε} hardness for polynomial-time algorithms, the k-hypergraph pricing problem admits n^δ approximation for any δ>0 in quasi-polynomial time. This puts this problem in a rare approximability class in which approximability thresholds can be improved significantly by allowing algorithms to run in quasi-polynomial time.

연구 동기 및 목표

• Exponential Time Hypothesis (ETH) 하에 지수시간 이하에서 최대 독립집합 문제에 대한 거의 날카로운 근사 불가능성 경계를 확립하기.
• 유도 매칭 문제의 근사 불가능성에 대한 강력한 결과를, 차수 제한이 있는 이분 그래프에서 증명하기.
• k-하이퍼그래프 가격 설정 문제의 근사 가능성 임계점을 해결하여, 다항시간 내에서 거의 최적의 근사 불가능성 결과를 보여주기.
• 새로운 감소와 연결을 통해 세 가지 서로 다른 문제 간의 난이도 결과를 통합하고 강화하기.
• 다항시간 근사에 저항하는 문제들에 대해, 준다항시간 알고리즘이 근사 비율을 어떻게 향상시킬 수 있는지 탐색하기.

제안 방법

• 기존 PCP 구성 요소들을 정교하게 조합하여, 거의 선형 크기의 희박한 PCP를 구성하며, 이는 높은 차수와 낮은 자유비트 복잡도를 가진다.
• 분산기의 새로운 그래프 이론적 성질을 통해 독립집합 문제와 유도 매칭 문제 사이의 날카로운 연결 고리를 확립한다.
• 근사 비율을 유지하는 특수한 그래프 변환을 사용하여 독립집합 문제를 유도 매칭 문제로 감소시킨다.
• 반드시 유도 매칭 문제에서의 지수시간 이하의 근사 불가능성을 k-하이퍼그래프 가격 설정 문제로 전이하기 위해, 반-유도 매칭으로의 감소를 수행한다.
• k-하이퍼그래프 가격 설정 문제에 대해, 임의의 δ > 0에 대해 O(n^δ)-근사 알고리즘을 준다항시간 내에 설계하여, 시간이 더 오래 걸릴수록 근사 비율이 크게 향상됨을 보여준다.
• 가격 단계 제약 조건과 반올림 기법을 사용하여, 시간 복잡도 O((log nm)^n poly(n,m)) 내에 상수 요소 근사 알고리즘을 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Exponential Time Hypothesis 하에, 최대 독립집합 문제의 지수시간 이하 근사 불가능성 결과를 더 날카롭게 만들 수 있는가?
• RQ2 k-하이퍼그래프 가격 설정 문제에 대해 다항시간 내에서 달성 가능한 최고의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 유도 매칭 문제의 근사 가능성은, 차수 제한이 있는 이분 그래프에서 독립집합 문제와 가격 설정 문제의 근사 가능성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 준다항시간 알고리즘이 다항시간 근사에 저항하는 문제들의 근사 비율을 상당히 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 이러한 문제들의 지수시간 이하 근사 불가능성을 증명하기 위해 ETH가 반드시 필요한가, 아니면 더 약한 가정으로도 충분한가?

주요 결과

• Exponential Time Hypothesis 하에, 최대 독립집합에 대한 어떤 r-근사 알고리즘도 r > 어떤 상수 이하일 경우 2^{n^{1−ε}/r^{1+ε}} 시간 이상이 필요하며, 이는 현재 알려진 2^{n/r} 상한과 거의 일치한다.
• ETH 하에, k-하이퍼그래프 가격 설정 문제에 대해 다항시간 내에 min{k^{1−ε}, n^{1/2−ε}}-근사 알고리즘은 존재하지 않으며, 이는 현재 알려진 최상의 상한 min{O(k), Õ(√n)}과 거의 일치한다.
• ETH를 가정할 경우, d-차수 제한이 있는 이분 그래프에서 유도 매칭 문제는 다항시간 내에 n^{1/2−ε} 이내로 근사하는 것이 불가능하다.
• k-하이퍼그래프 가격 설정 문제에 대해, 임의의 δ > 0에 대해 준다항시간 내에 O(n^δ)-근사 알고리즘이 존재함을 보여주며, 이는 다항시간과 준다항시간 간의 근사 가능성 격차가 상당히 크다는 것을 시사한다.
• k-하이퍼그래프 가격 설정 문제에 대해, 시간 복잡도 O((log nm)^n poly(n,m)) 내에 상수 요소 근사 알고리즘이 존재하며, 이는 임의의 α > 1에 대해 근사 비율 O(α²/(α−1))을 달성한다.
• 논문은 준다항시간이 근사 비율을 상당히 향상시킬 수 있는 흔치 않은 경우를 보여주며, 이는 고유한 근사 가능성 클래스를 강조한다.