[논문 리뷰] Fixed-Parameter and Approximation Algorithms: A New Look

Rajesh Chitnis, MohammadTaghi Hajiaghayi외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 15.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 27인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 Clique와 Set Cover와 같은 기본적인 W[1]- 및 W[2]-하드 문제에 대해 FPT 근사 알고리즘의 최초 조건부 하한을 확립하며, ETH와 PGC 하에서 Set Cover의 경우 $k^{F_1}$ 또는 Clique의 경우 $k^{1-\nabla}$ 근사비를 갖는 FPT 근사 알고리즘이 존재하지 않음을 보여준다. 또한, Strongly Connected Steiner Subgraph에 대해 상수 요인 FPT 근사 알고리즘을 포함한 여러 W[1]-하드 문제에 대해 다항 시간 내 $f(\text{OPT})$-근사 알고리즘을 제시하며, Marx가 제기한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

A Fixed-Parameter Tractable (\FPT) $ρ$-approximation algorithm for a minimization (resp. maximization) parameterized problem $P$ is an FPT algorithm that, given an instance $(x, k)\in P$ computes a solution of cost at most $k \cdot ρ(k)$ (resp. $k/ρ(k)$) if a solution of cost at most (resp. at least) $k$ exists; otherwise the output can be arbitrary. For well-known intractable problems such as the W[1]-hard {Clique} and W[2]-hard {Set Cover} problems, the natural question is whether we can get any \FPT-approximation. It is widely believed that both {Clique} and {Set-Cover} admit no FPT $ρ$-approximation algorithm, for any increasing function $ρ$. Assuming standard conjectures such as the Exponential Time Hypothesis (ETH) \cite{eth-paturi} and the Projection Games Conjecture (PGC) \cite{r3}, we make the first progress towards proving this conjecture by showing that 1. Under the ETH and PGC, there exist constants $F_1, F_2 >0$ such that the {Set Cover} problem does not admit an FPT approximation algorithm with ratio $k^{F_1}$ in $2^{k^{F_2}}\cdot ext{poly}(N,M)$ time, where $N$ is the size of the universe and $M$ is the number of sets. 2. Unless $\NP\subseteq \SUBEXP$, for every $1> δ> 0$ there exists a constant $F(δ)>0$ such that {Clique} has no FPT cost approximation with ratio $k^{1-δ}$ in $2^{k^{F}}\cdot ext{poly}(n)$ time, where $n$ is the number of vertices in the graph. In the second part of the paper we consider various W[1]-hard problems such as {\dst}, {\dsf}, Directed Steiner Network and {\mec}. For all these problem we give polynomial time $f( ext{OPT})$-approximation algorithms for some small function $f$ (the largest approximation ratio we give is $ ext{OPT}^2$).

연구 동기 및 목표

• Clique와 Set Cover와 같이 근사 알고리즘이 존재하지 않는다고 믿어지는 난이도 높은 문제에 대해 FPT 근사 알고리즘이 존재하는지 조사하기 위해.
• ETH와 PGC와 같은 표준 추측 하에 Set Cover와 Clique에 대한 FPT 근사의 조건부 하한을 설정하기 위해.
• Directed Steiner Tree, Edge Cover 및 SCSS와 같은 W[1]-하드 문제에 대해 다항 시간 내 $f(\text{OPT})$-근사 알고리즘을 설계하기 위해.
• Marx가 제기한, Strongly Connected Steiner Subgraph가 상수 요인 FPT 근사 알고리즘을 갖는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• Exponential Time Hypothesis(ETH)와 Projection Games Conjecture(PGC)를 사용하여 Set Cover와 Clique에 대한 FPT 근사의 조건부 하한을 유도한다.
• Multicolored Clique에서 출발하여 매개변수화된 감소를 통해 Minimum Size Edge Cover의 W[1]-난이도를 증명한다.
• Directed Steiner Tree에 대한 FPT 알고리즘을 적용하여 두 개의 방향 트리 인스턴스를 해결함으로써 Strongly Connected Steiner Subgraph에 대해 2-근사 알고리즘을 구성한다.
• OPT에 대한 함수로 표현된 $k$개의 간선을 선택하고 해의 크기를 $\text{OPT}$에 따라 경계함으로써 Minimum Size Edge Cover에 대해 다항 시간 $(\text{OPT}-1)$-근사 알고리즘을 구성한다.
• Directed Steiner Tree에 대한 기존의 FPT 알고리즘을 활용하여 SCSS에 대해 상수 요인 FPT 근사 알고리즘을 구축한다.
• FPT 근사 알고리즘의 비율 $\rho$가 다항 시간 내 $\rho'(\text{OPT})$-근사 알고리즘을 암시한다는 사실을 활용하여 FPT 근사성과 다항 시간 근사성 간의 연관성을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ETH와 PGC 하에서 Set Cover는 비율 $k^{F_1}$을 갖는 FPT 근사 알고리즘을 갖는가?
• RQ2 NP가 SUBEXP에 속하지 않는다고 가정할 때, Clique는 비율 $k^{1-\delta}$를 갖는 FPT 근사 알고리즘을 갖는가?
• RQ3 Minimum Size Edge Cover나 Directed Steiner Tree와 같은 W[1]-하드 문제들은 어떤 함수 $f$에 대해 다항 시간 내 $f(\text{OPT})$-근사 비율로 근사될 수 있는가?
• RQ4 Strongly Connected Steiner Subgraph는 상수 요인 FPT 근사 알고리즘을 갖는가? (Marx의 열린 문제 해결)
• RQ5 다음 중 W[2]-하드 문제 중 다항 시간 내 $f(\text{OPT})$-근사 알고리즘 또는 비율 $\rho$를 갖는 FPT 근사 알고리즘을 갖는 문제는 존재하는가?

주요 결과

• ETH와 PGC 하에서, Set Cover는 상수 $F_1, F_2 > 0$에 대해 $2^{k^{F_2}}\cdot\text{poly}(N,M)$ 시간 내에 비율 $k^{F_1}$을 갖는 FPT 근사 알고리즘을 갖지 못한다.
• NP가 SUBEXP에 속하지 않는다고 가정할 경우, Clique는 임의의 $\delta > 0$에 대해 $2^{k^F}\cdot\text{poly}(n)$ 시간 내에 비율 $k^{1-\delta}$를 갖는 FPT 근사 알고리즘을 갖지 못한다.
• Minimum Size Edge Cover는 다항 시간 $(\text{OPT}-1)$-근사 알고리즘을 갖으며, 해의 크기로 매개변수화할 경우 W[1]-난이도를 갖는다.
• Strongly Connected Steiner Subgraph는 상수 요인 FPT 근사 알고리즘을 갖는다. 이는 Marx의 열린 문제를 해결한 것이다.
• 이 논문은 Directed Steiner Tree와 Edge Cover를 포함한 여러 W[1]-하드 문제에 대해 최초로 다항 시간 $f(\text{OPT})$-근사 알고리즘을 제공하며, 가장 큰 근사비는 $\text{OPT}^2$이다.
• 결과들로 미루어보면 W[1]과 W[2] 사이에 잠재적인 분리가 존재할 가능성이 있으며, 아직 다항 시간 내 $f(\text{OPT})$-근사 알고리즘을 갖는 W[2]-하드 문제의 사례는 알려져 있지 않다.