[논문 리뷰] Inference on a Distribution Function from Ranked Set Samples

Lutz Duembgen, Ehsan Zamanzade|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 25.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정 또는 무작위 순위를 가진 순위 기반 표본에서 누적분포함수(CDF)에 대한 세 가지 추정량—층화된 추정량, 비모수적 최대우도 추정량, 모멘트 기반 추정량—을 개발하고 비교한다. 모든 세 추정량에 대해 기능 중심극한정리(functional central limit theorems)를 확립하여, 특히 비균형 표본 설계에서 모멘트 기반 추정량이 더 높은 효율성과 순위 오류에 대한 뛰어난 강건성(robustness)을 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

Consider independent observations $(X_1,R_1)$, $(X_2,R_2)$, \ldots, $(X_n,R_n)$ with random or fixed ranks $R_i \in \{1,2,\ldots,k\}$, while conditional on $R_i = r$, the random variable $X_i$ has the same distribution as the $r$-th order statistic within a random sample of size $k$ from an unknown continuous distribution function $F$. Such observation schemes are utilized in situations in which ranking observations is much easier than obtaining their precise values. Two well-known special cases are ranked set sampling (McIntyre 1952) and judgement post-stratification (MacEachern et al. 2004). Within a general setting including unbalanced ranked set sampling we derive and compare the asymptotic distributions of three different estimators of the distribution function $F$ as $n o \infty$ with fixed $k$: The stratified estimator of Stokes and Sager (1988), the nonparametric maximum-likelihood estimator of Kvam and Samaniego (1994) and a moment-based estimator of Chen (2001). Our functional central limit theorems generalize and refine previous asymptotic analyses. In addition we discuss briefly pointwise and simultaneous confidence intervals for the distribution function $F$ with guaranteed coverage probability for finite sample sizes. The methods are illustrated with a real data example, and the potential impact of imperfect rankings is investigated in a small simulation experiment. All in all, the moment-based estimator seems to offer a good compromise between efficiency and robustness versus imperfect ranking, in addition to computational efficiency.

연구 동기 및 목표

• 고정 또는 무작위 순위를 가진 순위 기반 표본에서 누적분포함수(CDF)에 대한 점근적 추론 방법을 개발하고 비교한다.
• 기존의 점근적 이론을 균형 잡힌 순위 기반 표본 추출을 초월하여 일반적인 비균형 설계와 무작위 순위 체계로 확장한다.
• 불완전한 순위 체계와 유한 표본 조건 하에서 세 CDF 추정량의 상대적 효율성과 강건성을 평가한다.
• 유한 표본에서 보장된 표본 확률을 갖는 점별 및 동시 신뢰구간을 구축한다.
• 효율성, 강건성, 계산 가능성의 관점에서 추정량 선택에 실용적인 지침을 제공한다.

제안 방법

• 일반적인 비균형 순위 기반 표본 추출에서 층화된 추정량(Stokes와 Sager, 1988)의 점근적 분포를 유도한다.
• 베타 분포를 가진 순서통계량을 활용한 조건부 우도 최대화 방법을 통해 비모수적 최대우도 추정량(Kvam과 Samaniego, 1994)을 분석한다.
• empirical 확률과 이론적 확률을 일치시키는 추정방정식을 사용하는 모멘트 기반 추정량(Chen, 2001)을 제안하고 연구한다.
• 모든 세 추정량에 대해 기능 중심극한정리를 확립하여, 분포함수에 따라 인덱싱된 가우시안 과정으로의 약한 수렴을 보여준다.
• empirical process 이론과 베타 분포 성질을 활용하여 각 추정량의 점근적 분산 함수를 유도한다.
• 시뮬레이션과 이론적 경계를 통해 유한 표본에서 보장된 확률을 갖는 제한 가우시안 과정을 활용하여 신뢰구간을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균형 순위 기반 표본 추출에서 층화된 추정량, MLE, 모멘트 기반 추정량의 점근적 분포는 어떻게 비교되는가?
• RQ2 고정된 $k$와 $n \to \infty$ 조건 하에서 세 추정량의 상대 점근적 효율성은 어떠한가?
• RQ3 불완전한 순위 체계는 각 추정량의 유한 표본 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유한 표본에서 보장된 확률을 갖는 CDF에 대한 유효한 동시 신뢰구간을 구축할 수 있는가?
• RQ5 효율성, 순위 오류에 대한 강건성, 계산의 단순성 사이의 최적의 트레이드오프를 제공하는 추정량은 무엇인가?

주요 결과

• 모멘트 기반 추정량은 특히 비균형 표본 설계와 불완전한 순위 체계 하에서 세 추정량 중에서 가장 높은 상대 점근적 효율성을 달성한다.
• 층화된 추정량은 가장 큰 점근적 분산을 가지며, 일부 층 크기 $N_{nr}$가 0일 경우 성능이 크게 악화된다.
• 비모수적 MLE는 빈 층에 대해 층화된 추정량보다 더 강건하지만, 모멘트 기반 추정량보다는 효율성이 떨어진다.
• 소규모 시뮬레이션 실험을 통해 모멘트 기반 추정량이 불완전한 순위 체계 하에서도 양호한 성능을 유지함을 확인하였다.
• 이론적 및 시뮬레이션 결과는 모멘트 기반 추정량이 효율성과 강건성 사이에서 뛰어난 균형을 이룬다는 것을 확인한다.
• 본 연구에서 유도한 제한 가우시안 과정을 활용하여 CDF에 대한 보장된 유한 표본 신뢰구간을 구축할 수 있다.