[논문 리뷰] Infinite divisibility of solutions to some self-similar integro-differential equations and exponential functionals of Lévy processes

Pierre Patie|arXiv (Cornell University)|2006. 05. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르적으로 음성인 Lévy 과정과 관련된 자기유사 적분미분 연산자의 증가하는 고유함수를 특성화하며, 이러한 함수의 특정 조합이 양의 실수선 상의 무한히 나누어떨어지는 및 자기분해 가능한 분포의 라플라스 변환임을 보여준다. 주요 기여는 Hartman의 베셀 함수에 관한 결과를 일반화하여, 새로운 계승 유사 곱과 라플라스 변환 항등식을 통해 일반화된 미타그레플레르 및 멱급수 함수로 확장한 것이다.

ABSTRACT

We provide the increasing eigenfunctions associated to spectrally negative self-similar Feller semigroups, which have been introduced by Lamperti. These eigenfunctions are expressed in terms of a new family of power series which includes, for instance, the modified Bessel functions of the first kind and some generalizations of the Mittag-Leffler function. Then, we show that some specific combinations of these functions are Laplace transforms of self-decomposable or infinitely divisible distributions concentrated on the positive line with respect to the main argument, and, more surprisingly, with respect to a parameter of the process. In particular, this generalizes a result of Hartman (1976) obtained for the increasing solution of the Bessel differential equation. Finally, we compute, for some cases, the associated decreasing eigenfunctions and derive the Laplace transform of the exponential functionals of some spectrally negative Lévy processes with a negative first moment.

연구 동기 및 목표

• 자기유사 적분미분 연산자와 관련된 스펙트르적으로 음성인 Lévy 과정과 관련된 증가 고유함수를 특성화하기 위해.
• 이러한 고유함수의 특정 비율과 변환이 ℝ⁺ 상의 무한히 나누어떨어지는 또는 자기분해 가능한 분포의 라플라스 변환임을 입증하기 위해.
• 기존의 수정 베셀 함수에 관한 Hartman의 고전적 결과를 일반화된 멱급수에서 유래하는 더 넓은 특수함수의 범주로 확장하기 위해.
• 스펙트르적으로 음성인 자기유사 마코프 과정에 대해 지수적 기능과 제1도달 시간의 명시적 라플라스 변환을 유도하기 위해.
• 기존의 알려진 특수함수인 미타그레플레르 및 베셀 함수를 통합하고 확장하는 새로운 일반화된 계승 기호와 관련된 멱급수를 도입하기 위해.

제안 방법

• 연구는 매개변수 α, γ, ϱ를 포함한 일반화된 계승 곱을 이용해 정의된 새로운 멱급수 가족을 활용한다. 이는 (α,γ)_{ϱ,n}로 표기되며, 표준 계승과 감마 함수의 행동을 일반화한다.
• 무한소 생성자 L^{(γ)}는 Lamperti의 매핑을 통해 양의 α-자기유사 Feller 과정의 생성자로 분석되며, Lévy 과정의 지수적 기능과 연결된다.
• 증가 고유함수 f_q(x)는 방정식 L^{(γ)}f_q(x) = qf_q(x)의 해로서 이러한 일반화된 멱급수로 표현된다.
• 결과 분포의 라플라스 변환은 고유함수의 함수적 형태와 그 로그 도함수를 분석하여 도출된다.
• 논문은 일반화된 계승을 통해 정의된 일반화된 미타그레플레르 유형 함수 E_{ϱ,β,γ}(x)와 I_{α,γ,ϱ}(x)를 도입하고 분석하여 기존의 알려진 특수함수를 통합하고 확장한다.
• 주요 항등식이 유도되며, 특히 lim_{ϱ↓1} I_{α,γ,ϱ}(x) = e^{x/α}는 ϱ↓1의 극한에서 지수 함수로 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기유사 적분미분 연산자 L^{(γ)}의 증가 고유함수들이 양의 실수선 상의 무한히 나누어떨어지는 분포의 라플라스 변환일 조건은 무엇인가?
• RQ2 Hartman의 수정 베셀 함수 비율의 무한 나누어떨어짐에 관한 결과를 Lévy 과정에서 유래하는 더 넓은 특수함수의 범주로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 음의 1차 모멘트를 갖는 스펙트르적으로 음성인 Lévy 과정의 지수적 기능의 라플라스 변환의 구조는 무엇이며, 이를 일반화된 멱급수로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 계승 곱 (α,γ)_{ϱ,n}은 어떤 방식으로 무한 나누어떨어짐의 맥락에서 기존의 특수함수인 미타그레플레르 및 베셀 함수를 통합하고 확장하는가?
• RQ5 매개변수 ψ(γ)와 고유함수 비율의 무한 나누어떨어짐 사이의 관계는 무엇이며, 이는 안정 과정의 경우로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 1 < ϱ < 2, β ≥ 0, γ > 1 − ϱ 조건 하에 q ↦ 1 / E_{ϱ,ϱβ,γ}(q)는 양의 자기분해 가능한 분포의 라플라스 변환이다.
• 동일한 조건 하에 q ↦ exp(q E'_{ϱ,ϱβ,γ}(q) / E_{ϱ,ϱβ,γ}(q))는 양의 무한히 나누어떨어지는 분포의 라플라스 변환이다.
• 0 < a < A 및 γ ≥ γ₀ 조건 하에 E_{ϱ,ϱβ,γ+ρ}(a)와 E_{ϱ,ϱβ,γ}(A)의 비율은 양의 무한히 나누어떨어지는 분포의 라플라스 변환이다. 여기서 ρ = φ(λ).
• 안정 과정의 경우, I_{α,γ,ϱ}(c_ϱ x) = ∑_{n=0}^∞ x^n / (α,γ)_{ϱ,n} 함수가 도입되며, lim_{ϱ↓1} I_{α,γ,ϱ}(x) = e^{x/α} 이므로 지수 함수로 수렴함을 보여준다.
• 1 < ϱ < 2, α > 0, γ ≥ 0 조건 하에 q ↦ 1 / I_{α,γ,ϱ}(q)는 양의 자기분해 가능한 분포의 라플라스 변환이다.
• 안정 과정 설정 하에서 q ↦ exp(q I'_{α,γ,ϱ}(q) / I_{α,γ,ϱ}(q))는 양의 무한히 나누어떨어지는 분포의 라플라스 변환이다.