[논문 리뷰] Infinite families of 2-designs and 3-designs from linear codes

Cunsheng Ding, Chengju Li|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 17.

Coding theory and cryptography참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 애슬러스-매튼 정리와 거의 완전 비선형 및 평면 함수의 성질을 이용하여 선형 코드, 특히 이진 및 삼진 순환 코드에서 무한한 2-설계 및 3-설계의 가닥을 구성한다. 주요 기여는 프로젝티브 삼진 순환 코드를 바탕으로 한 추측된 무한한 가닥의 명시적 매개변수화이다.

ABSTRACT

The interplay between coding theory and $t$-designs started many years ago. While every $t$-design yields a linear code over every finite field, the largest $t$ for which an infinite family of $t$-designs is derived directly from a linear or nonlinear code is $t=3$. Sporadic $4$-designs and $5$-designs were derived from some linear codes of certain parameters. The major objective of this paper is to construct many infinite families of $2$-designs and $3$-designs from linear codes. The parameters of some known $t$-designs are also derived. In addition, many conjectured infinite families of $2$-designs are also presented.

연구 동기 및 목표

• 기존에 알려진 구성 방식을 넘어서 선형 코드에서 직접 파생된 무한한 2-설계 및 3-설계의 가닥을 확립하는 것.
• 특히 이진 및 삼진 코드에 대해 알려진 t-설계의 정확한 매개변수를 선형 코드를 통해 규명하는 것.
• 프로젝티브 삼진 순환 코드를 바탕으로 한 추측된 무한한 2-설계 가닥을 제시하고 조사하는 것.
• 특히 t ≥ 2인 t-설계에 대해 코딩 이론과 조합 설계 이론 간의 상호작용을 탐구하는 것.
• 애슬러스-매튼 정리가 적용되지 않는 경우 t-설계 존재성을 증명하기 위한 기존 방법을 초월하는 새로운 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 특정 무게를 가진 코드어로부터 t-설계를 유도하기 위해 선형 코드와 그 이중 코드에 애슬러스-매튼 정리를 적용한다.
• 특히 거의 완전 비선형(APN) 및 평면 함수로 정의된 이진 및 삼진 순환 코드의 무게 분포를 사용한다.
• 고정된 무게를 가진 코드어의 지지집이 t-설계의 블록을 형성하는 고전적 구성 방법을 활용한다.
• 프로젝티브 삼진 순환 코드의 무게 분포를 분석하여 특정 매개변수를 가진 추측된 2-설계를 도출한다.
• 차이 가닥과 설계 위에 작용하는 군의 성질을 활용하여 t-설계를 대수적 구조와 연결한다.
• 하밍 코드와 리드-멀러 코드에 대한 기존 결과를 확장하여 새로운 무한한 2-설계 및 3-설계의 가닥을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 사례를 초월하여 선형 코드에서 체계적으로 2-설계 및 3-설계의 무한한 가닥을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이진 및 삼진 순환 코드에서 유도된 2-설계 및 3-설계의 정확한 매개변수는 무엇인가?
• RQ3 프로젝티브 삼진 순환 코드를 바탕으로 한 추측된 2-설계의 무한한 가닥은 모든 홀수 m ≥ 3에 대해 유효한가?
• RQ4 선형 코드에서 유도된 t-설계의 매개변수는 스티너 시스템과 같은 알려진 조합 설계와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 애슬러스-매튼 정리가 적용되지 않는 경우 t-설계 존재성을 증명하기 위해 어떤 새로운 방법이 필요한가?

주요 결과

• 논문은 APN 함수로 정의된 이진 순환 코드에서 유도된 2-설계 및 3-설계의 무한한 가닥을 구성하였으며, 각 가닥에 대해 명시적인 매개변수를 도출하였다.
• 이진 하밍 코드의 경우, 기존의 매개변수 2-((q^m−1)/(q−1), 3, q−1)를 가진 2-설계를 예제 2–5를 통해 새로운 무한한 가닥으로 일반화하였다.
• 정리 15는 특정 이진 순환 코드의 이중이 m ≥ 3에 대해 매개변수 3-(2^m−1, 2^{m−1}, 2^{m−2})를 가진 3-설계를 유도함을 증명한다.
• 정리 17 및 그推론들은 평면 함수와 관련된 코드에서 유도된 2-설계의 무한한 가닥을 제시하며, 매개변수는 차원 m에 따라 달라진다.
• 추측 21은 프로젝티브 삼진 순환 코드의 이중에서 무게 k를 가진 코드어의 지지집이 모든 홀수 m ≥ 3에 대해 2-설계를 형성한다고 제안하며, λ는 m에 따라 결정된다.
• 논문은 이 작업에서 구성된 3-설계의 총 수가 m에 대해 지수적으로 증가하며, 모두 선형 코드에서 유도됨을 보여주어 코딩 이론과 t-설계 사이에 강력한 연관성이 있음을 시사한다.