[논문 리뷰] Infinitely many positive solutions for nonlinear equations with non-symmetric potential

Weiwei Ao, Juncheng Wei|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 31.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소화된 에너지 방법과 리아푸노프-슈미트 축소를 사용하여 비대칭 잠재력이 있는 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한히 많은 양의 해가 존재한다는 것을 증명한다. Cerami-Passaseo-Solimini의 결과를 더 넓은 비선형성으로 일반화하고, 농도-완전성 또는 주기성에 의존하지 않는 새로운 변분적 증명을 제공함으로써, 충분히 작은 $\delta > 0$ 에 대해 잠재력과 비선형성의 약간의 감쇠 및 비퇴화 조건 하에서 이 방정식이 무한히 많은 유한 상태를 가짐을 입증한다.

ABSTRACT

We consider the following nonlinear Schrodinger equation [{l} Δu-(1+δV)u+f(u)=0 in \R^N, u>0 in \R^N, u\in H^1(\R^N).] where $V$ is a potential satisfying some decay condition and $ f(u)$ is a superlinear nonlinearity satisfying some nondegeneracy condition. Using localized energy method, we prove that there exists some $δ_0$ such that for $0

연구 동기 및 목표

• 비주기적 또는 대칭적 잠재력이 아닌 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한히 많은 양의 해가 존재함을 일반화하는 것.
• Cerami-Passaseo-Solimini [11]의 결과를 비퇴화 조건을 만족하는 더 광범위한 초선형 비선형성의 클래스로 확장하는 것.
• 농도-완전성 또는 주기성에 의존하지 않고, 국소화된 에너지 방법과 리아푸노프-슈미트 축소를 사용하여 새로운 변분적 증명을 제공하는 것.
• 동일한 프레임워크를 통해 타원형 시스템에 대해 무한히 많은 양의 유한 상태가 존재함을 입증하는 것.

제안 방법

• 비대칭 잠재력 영역에서 다수의 피크를 가진 해를 구성하기 위해 국소화된 에너지 방법을 활용하는 것.
• 문제를 유한차원 변분 문제와 잔여 방정식으로 분리하기 위해 리아푸노프-슈미트 축소를 적용하는 것.
• 모든 $u \leq 0$ 에서 0이 되고, 한계 문제의 기저 해에 대해 비퇴화 조건을 만족하는 $C^{1+\sigma}$ 비선형성 $f(u)$ 를 사용하는 것.
• 피크 간 상호작용을 제어하기 위해 분리 거리 $\rho > \rho_0$ 를 가진 $k$-점 구성 집합 $\Lambda_k$ 를 정의하는 것.
• 이론적 해를 이동된 기저 해 $U_{Q_i}, V_{Q_i}$ 의 합으로 구성한 후, 은폐 함수 정리에 의해 잔여 항을 보정하는 것.
• 에너지 함수가 $\Lambda_k$ 상에서 최소화됨을 증명하고, 에너지 함수의 최대값이 경계에서 발생하지 않고 내부에서 발생함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비주기성 또는 소수 파rameter를 가정하지 않고, 비대칭 잠재력이 있는 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한히 많은 양의 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 국소화된 에너지 방법과 리아푸노프-슈미트 축소를 조합하여, Cerami-Passaseo-Solimini [11]의 다중성 결과를 더 일반적인 비선형성 하에서 새로운 증명으로 이끌 수 있는가?
• RQ3 비선형성 $f(u)$ 와 잠재력 $V(x)$ 에 어떤 조건이 존재하면 비대칭 경우에 대해 무한히 많은 유한 상태가 존재하는가?
• RQ4 임의의 큰 $k$ 에 대해 다수의 피크 간 상호작용을 어떻게 제어하여 서로 다른 해의 존재를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\delta_0 > 0$ 가 존재하여, $0 < \delta < \delta_0$ 일 때 방정식은 적어도 $k$ 개의 서로 다른 양의 해를 가짐.
• $(k+1)$-피크 해의 에너지 수준 $\mathcal{C}_{k+1}$ 는 $\mathcal{C}_{k+1} \geq \mathcal{C}_k + I(U,V)$ 를 만족하며, 여기서 $I(U,V)$ 는 단일 피크 해의 에너지이다.
• 구성 공간 $\Lambda_k$ 상에서 에너지 함수의 최대값은 내부 $\Lambda_k^\circ$ 에서 도달되며, 경계 집중을 배제한다.
• 해의 구조는 외부 변화에 대해 안정적이다: 보정 항 $\phi_{\mathbf{Q}}$, $\psi_{\mathbf{Q}}$ 는 구성 매개변수 $\mathbf{Q}$ 에 대한 $C^1$ 매핑으로 존재한다.
• 이 방법은 타원형 시스템에도 적용 가능하여, 이러한 시스템에 대해 무한히 많은 양의 유한 상태가 존재함을 입증한다.
• 한계 문제 $\Delta w - w + f(w) = 0$ 의 기저 해 $w$ 의 비퇴화성은 은폐 함수 정리 적용에 필수적이다.