[논문 리뷰] Infinitesimal objects associated to Dirac groupoids and their homogeneous spaces

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Dirac 군oids의 무한소 구조를 유닛과 Dirac 구조의 코어에 자연스러운 Lie 대수다발 구조를 도입하여 규명한다. Dirac 군oids에서 일반화된 Courant 대수다발을 구성하며, 이는 편미분 기하학과 심플렉틱 기하학에서 알려진 구조를 일반화한다. 또한, 이는 분할 작용에 관하여 불변인 라그랑주 부분다발을 통한 Dirac 동차 공간의 분류를 통해 이전의 편미분 및 닫힌 2형식 군oids에 관한 결과를 통합한다.

ABSTRACT

Let $(G r P, \mathsf D_G)$ be a Dirac groupoid. We show that there are natural Lie algebroid structures on the units $\lie A(\mathsf D_G)$ and on the core $I^ g(\mathsf D_G)$ of the multiplicative Dirac structure. In the Poisson case, the Lie algebroid $A^*G$ is isomorphic to $\lie A(\mathsf D_G)$ and in the case of a closed 2-form, the $IM$-2-form is equivalent to the core algebroid that we find. We construct a vector bundle $\lie B(\mathsf D_G) o P$ associated to any (almost) Dirac structure. In the Dirac case, $\lie B(\mathsf D_G)$ has the structure of a Courant algebroid that generalizes the Courant algebroid defined by the Lie bialgebroid of a Poisson groupoid. This Courant algebroid structure is induced in a natural way by the ambient Courant algebroid $TG\oplus T^*G$. The already known theorems about one-one correspondence between the homogeneous spaces of a Poisson Lie group (respectively Poisson groupoid, Dirac Lie group) and suitable Lagrangian subspaces of the Lie bialgebra or Lie bialgebroid are generalized to a classification of the Dirac homogeneous spaces of a Dirac groupoid. $\mathsf D_G$-homogeneous Dirac structures on $G/H$ are related to suitable Dirac structures in $\lie B(\mathsf D_G)$. In the case of almost Dirac structures, we find Lagrangian subspaces of $\lie B(D_G)$, that are invariant under an induced action of the bisections of $H$ on $\lie B(\mathsf D_G)$.

연구 동기 및 목표

• 편미분 및 심플렉틱 동차 공간의 분류를 Dirac 군oids로 일반화하기 위해.
• Dirac 군oids의 무한소 자료를 Dirac 구조의 유닛과 코어에 자연스러운 Lie 대수다발 구조를 통해 규명하기 위해.
• 편미분 군oids의 Lie 대배지드 구조를 일반화하는 Dirac 군oids에서 Courant 대수다발을 구성하기 위해.
• Dirac 군oids의 동차 공간과 무한소 Courant 대수다발 내에서 불변인 라그랑주 부분다발 사이의 일대일 대응을 수립하기 위해.

제안 방법

• Dirac 군oids $G{\rightrightarrows}P$의 유닛에 대한 무한소 대상 $\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$를 Lie 대수다발로 정의한다.
• 다중성 Dirac 구조와 관련된 코어 대수다발 $I^{\mathsf{t}}(\mathsf{D}_G)$를 Lie 대수다발로 구성한다.
• 환경 $TG \oplus T^*G$에서 유도된 자연스러운 Courant 대수다발을 지닌 벡터다발 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G) \to P$를 도입한다.
• 부분군oids $H$의 이분선 작용에 의한 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$의 작용을 이용하여 라그랑주 부분다발의 불변 조건을 정의한다.
• $\mathsf{D}_G$-동차 Dirac 구조가 $G/H$에 존재할 때와 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$의 불변 라그랑주 부분다발 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• 편미분 및 Dirac 기하학의 정리들을 일반화하기 위해, 동차 공간의 분류가 무한소 Courant 대수다발 내 불변 라그랑주 부분다발으로 귀결됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dirac 군oids의 무한소 자료는 Lie 대수다발과 Courant 대수다발의 관점에서 어떻게 묘사될 수 있는가?
• RQ2 Dirac 군oids와 관련된 Courant 대수다발의 구조는 무엇이며, 이는 어떻게 편미분 군oids의 Lie 대배지드를 일반화하는가?
• RQ3 Dirac 군oids의 Dirac 동차 공간은 무한소 자료의 관점에서 어떻게 분류되는가?
• RQ4 동차 공간 $G/H$에 대한 Dirac 구조가 $\mathsf{D}_G$-동차가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 $H$의 이분선 작용이 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$ 내에서 불변 라그랑주 부분다발을 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Dirac 군oids의 유닛 $\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$와 코어 $I^{\mathsf{t}}(\mathsf{D}_G)$는 자연스러운 Lie 대수다발 구조를 지닌다.
• 편미분의 경우 $\mathfrak{A}(\mathsf{D}_G)$는 이중 Lie 대수다발 $A^*G$와 미분형이며, 닫힌 2형식의 경우 코어는 [3]에서 정의한 IM-2형식에 대응한다.
• 벡터다발 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$는 Lie 대배지드에서 유도된 Courant 대수다발 구조를 지닌다.
• Dirac 동차 공간 $G/H$는 부분군oids $H$의 이분선 작용에 의해 유도된 불변 라그랑주 부분다발에 의해 분류되며, 불변 조건은 군oids 작용과의 호환성을 보장한다.
• 거의 Dirac 구조의 경우, 분류는 부분군oids $H$의 이분선 작용에 대해 불변인 $\mathfrak{B}(\mathsf{D}_G)$의 라그랑주 부분다발을 포함하며, 이는 편미분의 경우를 확장한다.
• Lie 군oids 위의 왼쪽 불변 Dirac 구조는 그 무한소 수준으로의 편미분이 $AG \oplus A^*G$의 부분대배지드일 때이고, 그때서만 닫혀져 있다.