[논문 리뷰] Infinity Algebras, Cohomology and Cyclic Cohomology, and Infinitesimal Deformations

Michael Penkava|ArXiv.org|2001. 11. 07.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 16인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 텐서 코알제브라와 외적 코알제브라 위의 코미분형식을 사용하여 $A_{{u}}$와 $L_{{u}}$ 대수의 통합된 프레임워크를 수립한다. 이는 호크시ลด 및 리 코homology를 일반화하여 무한소 변형을 분류한다. 또한 $A_{{u}}$와 $L_{{u}}$ 대수의 관계형 내적을 유지하는 변형을 분류하는 순환 코homology가 이를 연결하며, 대칭군 작용을 통해 그래프 복합체와 연관된다.

ABSTRACT

An A-infinity algebra is given by a codifferential on the tensor coalgebra of a (graded) vector space. An associative algebra is a special case of an A-infinity algebra, determined by a quadratic codifferential. The notions of Hochschild and cyclic cohomology generalize from associative to A-infinity algebras, and classify the infinitesimal deformations of the algebra, and those deformations preserving an invariant inner product, respectively. Similarly, an L-infinity algebra is given by a codifferential on the exterior coalgebra of a vector space, with Lie algebras being special cases given by quadratic codifferentials. There are natural definitions of cohomology and cyclic cohomology, generalizing the usual Lie algebra cohomology and cyclic cohomology, which classify deformations of the algebra and those which preserve an invariant inner product. This article explores the definitions of these infinity algebras, their cohomology and cyclic cohomology, and the relation to their infinitesimal deformations.

연구 동기 및 목표

• 코알제브라적 코미분형식을 사용하여 호크시ลด 및 리 코homology를 $A_{{\nu}}$와 $L_{{\nu}}$ 대수로 일반화한다.
• 코homology 이론을 통해 $A_{{\nu}}$와 $L_{{\nu}}$ 대수의 무한소 변형을 분류한다.
• 순환 코homology가 $A_{{\nu}}$와 $L_{{\nu}}$ 설정 모두에서 관계형 내적을 유지하는 변형을 분류함을 보인다.
• $A_{{\nu}}$ 대수와 관계형 내적 간의 연결 고리를 수립하며, 메트릭 리본 그래프의 호몰로지에서의 사이클과 연관시킨다.
• $L_{{\nu}}$ 대수로 프레임워크를 확장하고, 메트릭 일반 그래프 복합체 위에서의 작용을 보인다.

제안 방법

• $A_{{\nu}}$ 대수를 등급 벡터 공간의 텐서 코알제브라 위의 코미분형식으로 정의하며, 결합 대수는 특수한 이차 사례로 간주한다.
• $L_{{\nu}}$ 대수를 외적 코알제브라 위의 코미분형식으로 정의하며, 리 대수는 이차 특수 사례로 간주한다.
• 코미분형식과 그 교환자들을 사용하여 $A_{{\nu}}$와 $L_{{\nu}}$ 대수의 코homology 및 순환 코homology를 구성한다.
• 내적과 $L_{{\nu}}$ 구조를 통해 순환 코체인 공간에 미분을 도입하고, 미분형 리 대수의 구조를 정의한다.
• 특히 $\mathbb{Z}_2$-등급 설정에서, 등급 벡터 공간의 기하학적 반전을 사용하여 텐서 및 외적 코알제브라를 연결한다.
• 이 형식을 적용하여 순환 코hom로프가 관계형 내적을 유지하는 무한소 변형을 분류함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코알제브라적 코미분형식을 사용하여 호크시ลด 및 리 코homology를 어떻게 $A_{{\infty}}$와 $L_{{\infty}}$ 대수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 관계형 내적을 유지하는 $A_{{\infty}}$와 $L_{{\infty}}$ 대수의 변형을 분류하는 데서 순환 코homology의 역할은 무엇인가?
• RQ3 관계형 내적을 갖는 $A_{{\infty}}$ 대수는 메트릭 리본 그래프의 호몰로지에서 어떤 사이클을 유도하는가?
• RQ4 $L_{{\infty}}$ 대수의 순환 코체인의 대칭 구조는 $A_{{\infty}}$ 대수와 어떻게 다를까? 이는 그래프 복합체 작용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $L_{{\infty}}$ 구조와 내적에서 유래하는 순환 코체인 공간의 미분형 리 대수의 구조는 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 관계형 내적을 갖는 $A_{{\infty}}$ 대수의 순환 코hom로프 $HC(V)$는 내적을 유지하는 무한소 변형을 분류한다.
• 관계형 내적을 갖는 $L_{{\infty}}$ 대수의 순환 코hom로프 $HC(V)$는 내적을 유지하는 변형을 분류하며, $HC^2(V)$는 이러한 변형을 제어한다.
• 관계형 내적을 갖는 $L_{{\infty}}$ 대수의 순환 코체인 공간 $CC(V)$는 미분 $D$와 게르스텐하버 유형의 괄호를 통해 미분형 리 대수의 구조를 유도한다.
• 구조가 리 대수일 경우, $L_{{\infty}}$ 대수의 코hom로프 $HC^n(V)$는 자명한 계수를 갖는 리 대수 코hom로프 $H^{n+1}(V, \mathbf{k})$와 동형이다.
• 전체 대칭군은 $L_{{\infty}}$ 대수의 순환 코체인 복합체에 작용하며, $A_{{\infty}}$ 대수와 달리 그래프 복합체 작용에서 더 풍부한 대칭성을 유도한다.
• 이 프레임워크는 관계형 내적을 갖는 $L_{{\infty}}$ 대수가 메트릭 일반 그래프 복합체 위에서 작용함을 보이며, 리본 그래프에서의 $A_{{\infty}}$ 사례를 일반화한다.