[논문 리뷰] Infinity Algebras, Massey Products, and Deformations

Michael Penkava, Lynelle Lang Weldon|ArXiv.org|1998. 08. 12.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 A-infinity 및 L-infinity 대수의 변형에서 유래하는 일반화된 Massey 곱을 소개하며, 형식적 변형이 infinity 대수에서 유도하는 대수적 구조가 Z2-등급 리 대수의 변형과 동일하다는 것을 보여준다. 또한 infinity 대수에 대한 일반화된 Maurer-Cartan 공식을 수립하여, 이전에 등급 공통 대수와의 곱을 취한 리 대수에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we give some examples of generalized Massey products, arising from deformations of A-infinity and L-infinity algebras. The generalized Massey products are given by certain graded commutative algebra structures, depending on the deformation problem considered. We show that the formal deformations of infinity algebras give rise to the same algebraic structure as the deformations of Z2-graded Lie algebras. However, the problem of deforming a Lie algebra into an L-infinity algebra, or an associative algebra into an A-infinity algebra gives rise to a new algebra. We also consider deformations of infinity algebras with a base. In math.QA/9602024, it was shown that the Jacobi identity for a bracket on the tensor product of a Lie algebra and a graded commutative algebra is equivalent to a Maurer-Cartan formula. We prove a generalized result in the case of infinity algebras.

연구 동기 및 목표

• 변형 이론을 통해 A-infinity 및 L-infinity 대수의 맥락에서 일반화된 Massey 곱을 조사한다.
• 형식적 변형이 infinity 대수에서 유도하는 대수적 구조가 Z2-등급 리 대수와 비교하여 어떻게 되는지 규명한다.
• Jacobi 항등식과 Maurer-Cartan 공식 사이의 알려진 등가성을 base를 가진 infinity 대수로 확장한다.
• 결합 대수와 리 대수의 변형을 A-infinity 및 L-infinity 대수로 분석하여 새로운 대수적 구조를 규명한다.
• 기존의 Lie 대수에 대한 결과(math.QA/9602024)에 따라, infinity 대수에 대한 일반화된 Maurer-Cartan 공식을 일반화한다.

제안 방법

• A-infinity 및 L-infinity 대수의 변형 이론을 사용하여 일반화된 Massey 곱을 구성한다.
• 변형의 대수적 자료를 표현하기 위해 등급 공통 대수의 구조를 사용한다.
• Maurer-Cartan 방정식 프레임워크를 infinity 대수에 적용하여 Z2-등급 리 대수에서의 결과를 일반화한다.
• 결합 대수의 변형을 A-infinity 대수로, 리 대수의 변형을 L-infinity 대수로 간주하여 별개의 변형 문제로 분석한다.
• tensor 곱에서의 Jacobi 항등식과 infinity 대수 설정에서의 일반화된 Maurer-Cartan 공식 사이의 대응관계를 수립한다.
• 기울어진 infinity 대수와 base 확장을 사용하여 기초가 있는 변형을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A-infinity 및 L-infinity 대수의 변형에서 어떤 대수적 구조가 유도되는가?
• RQ2 일반화된 Massey 곱은 infinity 대수의 변형 이론과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 등급 공통 대수는 infinity 대수의 변형 데이터를 어떻게 표현하는가?
• RQ4 base가 있는 infinity 대수의 맥락에서 Maurer-Cartan 방정식은 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 리 대수를 L-infinity 대수로 변형하는 것과 결합 대수를 A-infinity 대수로 변형하는 것의 차이는 무엇인가?

주요 결과

• infinity 대수의 형식적 변형은 Z2-등급 리 대수의 변형과 동일한 대수적 구조를 유도한다.
• 결합 대수를 A-infinity 대수로 또는 리 대수를 L-infinity 대수로 변형하면 새로운, 상이한 대수적 구조가 유도된다.
• 일반화된 Massey 곱은 변형 문제에 따라 달라지는 등급 공통 대수의 구조에 의해 표현된다.
• 리 대수와 등급 공통 대수의 텐서 곱에서의 bracket에 대한 Jacobi 항등식은 infinity 대수 설정에서의 일반화된 Maurer-Cartan 공식과 동치이다.
• 논문은 math.QA/9602024의 결과를 infinity 대수로 일반화하여, base가 있는 변형을 위한 Maurer-Cartan 유형 방정식을 수립한다.
• 등급 공통 대수의 구조를 통해 A-infinity 및 L-infinity 대수의 변형 이론적 구성 방식을 통합한다.