[논문 리뷰] Injective Envelopes of $C^*$-algebras as Operator Modules

Michael Frank, Vern I. Paulsen|arXiv (Cornell University)|2001. 06. 15.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단위를 가진 $C^*$-대수 $A$의 삽입 외삽 $I(A)$가 단지 삽입 가능한 작도계열일 뿐 아니라, 완전유계 $A$-모듈러스 사상에 관해 최소의 삽입 가능한 왼쪽(또는 오른쪽) 작도계열 $A$-모듈러스임을 증명하며, $I(A)$가 완전유계 $A$-모듈러스 사상에 관해 강성(rigid)하다는 것을 보여준다. 핵심 결과는 $A$의 $n$번 반복된 국소 승수 대수 $M_{\text{loc}}^{(n)}(A)$가 $I(A)$에 $*$-동형으로 삽입되며, $I(A)$가 이러한 국소 승수 대수의 임의의 것과 일치한다는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we give some characterizations of M. Hamana's injective envelope I(A) of a C*-algebra A in the setting of operator spaces and completely bounded maps. These characterizations lead to simplifications and generalizations of some known results concerning completely bounded projections onto C*-algebras. We prove that I(A) is rigid for completely bounded A-module maps. This rigidity yields a natural representation of many kinds of multipliers as multiplications by elements of I(A). In particular, we prove that the(n times iterated) local multiplier algebra of A embeds into I(A). Some remarks on local left/right/quasi multiplier algebras as subsets of I(A) are added.

연구 동기 및 목표

• 완전유계 $A$-모듈러스 사상의 범주에서 작도계열 모듈러스로서 $C^*$-대수 $A$의 삽입 외삽 $I(A)$를 특성화하는 것.
• 완전긍정적 사상에 대한 함라나의 강성 정리( rigidity theorem )를 완전유계 $A$-모듈러스 사상의 맥락으로 일반화하는 것.
• $I(A)$가 완전유계 $A$-모듈러스 사상에 관해 강성( rigidity )을 가지며, 이는 승수를 $I(A)$의 원소로의 곱셈 연산자로 표현할 수 있게 한다.
• $A$의 $n$번 반복된 국소 승수 대수가 $I(A)$에 $*$-동형으로 삽입됨을 증명함으로써, 기존의 승수 대수 이론을 확장하는 것.
• $I(A)$가 그 자체의 국소 승수 대수 $M_{\text{loc}}(A)$의 삽입 외삽임을 확립함으로써, 모든 $k \geq 1$에 대해 $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$임을 보이는 것.

제안 방법

• 완전유계 $A$-모듈러스 사상의 분석을 행도계열의 부분공간에서의 분석으로 줄이기 위해, 비대칭화 기법(off-diagonalization trick)을 사용한다.
• 특정한 작도계열 $\mathcal{S} \subset M_2(I(A))$ 위에 사상 $\Phi: \mathcal{S} \to M_2(I(A))$를 정의하며, 이는 $A$, $E \subseteq I(A)$, $\mathbb{C}$의 원소들로부터 구성된다. 이 사상은 주어진 완전유계 $A$-모듈러스 사상 $\varphi: E \to I(A)$를 연장한다.
• 함라나의 강성 정리와 행렬 대수 위의 완전긍정적 사상의 구조를 적용하여, $\varphi$가 어떤 $y \in I(A)$에 의한 오른쪽(또는 왼쪽) 곱셈으로 유도됨을 도출한다. 이때 $\|y\| = \|\varphi\|_{cb}$이다.
• 확장의 유일성과 $A$-모듈러스 구조를 이용하여, $I(A)$가 삽입 가능한 왼쪽 $A$-모듈러스 중 최소임을 보인다.
• 완전유계 $A$-모듈러스 사상의 강성에 의해 유도된 $M_{\text{loc}}(A)$에서 $I(A)$로의 $*$-단사 사상($*$-monomorphism)을 적용하여, $I(A)$가 $M_{\text{loc}}(A)$의 삽입 외삽임을 보인다.
• $I(A)$가 삽입 가능하며, $A$를 $C^*$-부분대수로 포함하고 있음을 이용하여, $I(A)$가 $M_{\text{loc}}(A)$의 유일한 삽입 외삽임을 유추함으로써, 모든 $k \geq 1$에 대해 $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위를 가진 $C^*$-대수 $A$의 삽입 외삽 $I(A)$는 완전유계 $A$-모듈러스 사상의 맥락에서 최소의 삽입 가능한 왼쪽(또는 오른쪽) 작도계열 $A$-모듈러스로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 $I(A)$가 완전유계 $A$-모듈러스 사상에 관해 강성( rigidity )을 가지는가? 이는 승수를 $I(A)$의 원소로의 곱셈 연산자로 표현할 수 있게 하는가?
• RQ3 $A$의 $n$번 반복된 국소 승수 대수가 $I(A)$에 $*$-동형으로 삽입될 수 있는가?
• RQ4 $I(A)$는 $M_{\text{loc}}(A)$의 삽입 외삽과 일치하는가? 더 일반적으로, 모든 $k \geq 1$에 대해 $I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$와 일치하는가?
• RQ5 $I(A)$가 $M_{\text{loc}}(A)$와 일치하거나, 또는 $I(A)$ 내부에서 $A$의 정규화된 단조완비화 $\overline{A}$와 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 단위를 가진 $C^*$-대수 $A$의 삽입 외삽 $I(A)$는 완전유계 $A$-모듈러스 사상에 관해 강성( rigidity )을 가진다: $A$를 고정하는 모든 그러한 사상은 $I(A)$ 위에서 항등사상이어야 한다.
• 모든 완전유계 왼쪽(또는 오른쪽) $A$-모듈러스 사상 $\varphi: E \to I(A)$에 대해, 여기서 $E \subseteq I(A)$는 $A$-불변 부분공간이면, 어떤 $y \in I(A)$에 의한 오른쪽(또는 왼쪽) 곱셈으로 표현되며, 이때 $\|y\| = \|\varphi\|_{cb}$이다.
• $A$의 국소 승수 대수 $M_{\text{loc}}(A)$는 $I(A)$에 $*$-동형으로 삽입되며, 이 삽입은 모든 반복된 국소 승수 대수로 확장된다.
• $A$의 삽입 외삽 $I(A)$는 $M_{\text{loc}}(A)$의 삽입 외삽이기도 하며, 따라서 모든 $k \geq 1$에 대해 $I(A) = I(M_{\text{loc}}^{(k)}(A))$이다.
• 가환 단위를 가진 $C^*$-대수 $A$에 대해 $I(A)$는 $M_{\text{loc}}(A)$와 $*$-동형이며, $K$를 포함하는 $A$에 대해서는 $I(A)$는 $B(H)$와 $*$-동형이다.
• 비단위 $C^*$-대수의 경우, $A$의 단위화 $B$에 대해 $I(A) = I(B)$이므로 결과가 유지되며, $I(A)$는 여전히 $M_{\text{loc}}^{(k)}(A)$의 삽입 외삽이다.