[논문 리뷰] Instantaneously complete Chern-Ricci flow and Kähler-Einstein metrics

Shaochuang Huang, Man-Chun Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초기 데이터가 불완전할 수 있는 완전하지 않은 비콤팩트 허미션 다양체 위에서 즉시 완비된 체른-리치 흐름의 존재를 확립한다. 이는 기존의 지멘스와 토피의 리치 흐름 결과를 고차원으로 일반화한 것이다. 곡률과 토르션의 유계 조건 하에서 장기 존재성과 카플러-아인슈타인 계량으로의 수렴을 증명하며, 라트-장과 토사티-베인코브의 결과를 비콤팩트이고 곡률이 유계가 아닐 수 있는 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this work, we obtain some existence results of Chern-Ricci Flows and the corresponding Potential Flows on complex manifolds with possibly incomplete initial data. We discuss the behaviour of the solution as $t ightarrow 0$. These results can be viewed as generalization of an existence result by Giesen and Topping for surfaces of hyperbolic type of Ricci flow to higher dimensions in certain sense. On the other hand, we also discuss the long time behaviour of the solution and obtain some sufficient conditions for the existence of Kähler-Einstein metric on complete noncompact Hermitian manifolds, which generalizes the work of Lott-Zhang and Tosatti-Weinkove to complete noncompact Hermitian manifolds with possibly unbounded curvature.

연구 동기 및 목표

• 완전하지 않은 비콤팩트 허미션 다양체 위에서 초기 계량이 불완전할 수 있는 경우에도 체른-리치 흐름과 그 잠재적 흐름의 단기 존재성을 확립하는 것.
• 초기 데이터가 불완전하거나 곡률이 무한대일 수 있는 경우에도 $ t > 0 $ 에서 흐름의 즉시 완비성을 분석하는 것.
• 완전하지 않은 비콤팩트 허미션 다양체 위에서 정규화된 체른-리치 흐름의 장기 존재성과 카플러-아인슈타인 계량으로의 수렴을 위한 충분조건을 도출하는 것.
• 기존의 카플러-아인슈타인 계량 결과(예: 라트-장, 토사티-베인코브)를 곡률이 유계가 아닐 수 있는 비콤파크트 설정으로 일반화하는 것.
• 특이하거나 불완전한 초기 데이터를 가진 포물선 복소 맨게-아프레 방정식을 통한 카플러-아인슈타인 계량 연구의 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 정규화된 체른-리치 흐름을 포물선 복소 맨게-아프레 방정식 (1.2)로 정의하며, $ u $ 는 $ \frac{\nu}{\nu t}u = \nu \text{log} \frac{(\nu + \nu \nu u)^n}{\theta_0^n} - u $ 를 따라 evolove하며, $ \nu $ 는 시간에 따라 변하는 형식이다.
• 잠재 흐름 공식을 사용하여 체른-리치 흐름을 $ \nu(t) = \nu + \nu \nu u $ 를 만족하는 $ u(t) $ 의 해와 연결함으로써 $ t > 0 $ 에서의 변화하는 계량의 양성 보장.
• 배경 계량 $ h $ 의 곡률과 토르션의 유계 조건 및 고갈 함수 $ \rho $ 를 사용하여 $ M \times [1, \nu) $ 에서 변화하는 계량 $ g(t) $ 가 배경 계량 $ h $ 와 균일하게 동치임을 확립.
• 조건 $ |\nu \rho|_h^2 + |\nu \nu \rho|_h \nu K $ 하에서 최대원리(보조정리 B.1)를 적용하여 흐름을 제어하고 $ f \nu 0 $ 이 $ M \times [0,S) $ 에서 유지되도록 보장.
• 지표 $ \text{tr}_g h $ 와 $ \text{tr}_h g $ 의 진화 방정식 유도 및 이를 통해 시간에 관계없이 계량의 상하한을 균일하게 유계화.
• 계량 간의 균일한 동치를 활용하여, 곡률과 토르션이 유계일 조건 하에서 [16]의 정리 5.1과 동일한 추론을 통해 카플러-아인슈타인 계량으로의 수렴을 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 계량이 불완전할 경우에도 배경 계량 $ h $ 가 곡률과 토르션 유계 조건을 만족하고, $ |\nu \rho|_h^2 + |\nu \nu \rho|_h \nu K $ 를 만족하는 적절한 고갈 함수 $ \rho $ 를 갖는다면, 체른-리치 흐름이 $ t > 0 $ 에서 즉시 완비가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 배경 계량 $ h $ 가 곡률이 유계가 아닐 수 있는 완전하지 않은 비콤팩트 허미션 다양체 위에서 정규화된 체른-리치 흐름이 카플러-아인슈타인 계량으로 수렴할 수 있는가?
• RQ3 곡률, 토르션, 고갈 함수에 대한 기하학적·해석적 조건은 무엇인가? 이 조건들이 체른-리치 흐름의 장기 존재성과 균일한 계량 동치를 보장하는가?
• RQ4 잠재 흐름 공식 (1.2) 은 어떻게 사용되어, 콤팩트 또는 완전한 초기 계량을 넘어서 존재 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ5 라트-장과 토사티-베인코브의 카플러-아인슈타인 계량 결과는 곡률이 무한대일 수 있는 비콤팩트 허미션 다양체로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 배경 계량 $ h $ 가 곡률과 토르션 유계 조건을 만족하고, $ |\nu \rho|_h^2 + |\nu \nu \rho|_h \nu K $ 를 만족하는 적절한 고갈 함수 $ \rho $ 를 갖는 한, 불완전한 초기 계량에서 시작하는 체른-리치 흐름은 $ t > 0 $ 에서 즉시 완비가 된다.
• 정리 1.1 의 조건 하에서, 정규화된 체른-리치 흐름은 모든 $ t > 0 $ 에서 존재하며, $ M \times [1, \nu) $ 에서 변화하는 계량 $ g(t) $ 는 배경 계량 $ h $ 와 균일하게 동치이며, 상수는 $ n, L, \nu, ||f||_\nu, K_0 $ 에만 의존한다.
• 배경 계량 $ h $ 가 $ \text{BK}_h \nu -K $, $ |T_h|_h^2 + |\nabla^h_{\bar{\nu}} T_h| \nu K $ 를 만족하고 고갈 함수 $ \rho $ 가 요구 조건을 만족하는 한, 흐름은 완전하지 않은 비콤팩트 허미션 다양체 위에서 카플러-아인슈타인 계량으로 수렴한다.
• 잠재 흐름 (1.2) 는 곡률이 유계이지 않거나 초기 계량이 매끄럽지 않거나 불완전한 경우에도 체른-리치 흐름을 제어할 수 있는 포물선 복소 맨게-아프레 공식을 제공한다.
• 최대원리(보조정리 B.1) 를 적용하여 하위해가 항상 음수이거나 0이 되도록 보장함으로써, 곡률과 토르션 제어 하에서 계량 진화에 대한 균일한 유계를 확보한다.
• $ M \times [1, \nu) $ 에서의 균일한 동치 $ C^{-1} h \nu g(t) \nu C h $ 는 흐름이 균일하게 비특이성을 유지함을 의미하며, 표준 포물선 정규성 추론을 통해 카플러-아인슈타인 계량으로의 수렴을 가능하게 한다.