[논문 리뷰] Weakly PIC1 manifolds with maximal volume growth

Fei He, Man-Chun Lee|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최대 체적 성장 조건을 만족하는 완전한 약한 PIC1 리만 다양체가 $ℝ^n$과 위상동형임을 증명한다. 곡률 추정과 단위 반경 제어를 동반한 리치 흐름을 통해 저자들은 흐름의 장기 존재성을 증명하고, 시간에 따라 매개변수화된 미분동형사상으로 지수 사상들을 변형시켜 유클리드 공간으로의 전역 미분동형사를 구성한다.

ABSTRACT

In this article we use Ricci flow to show that complete PIC1 manifolds with maximal volume growth are diffeomorphic to $\mathbb{R}^n$. One of the key ingredients is local estimates of curvature lower bounds on an initial time interval of the Ricci flow. As another application of these estimates we obtain pseudolocality type results related to the PIC1 condition.

연구 동기 및 목표

• 완전한 약한 PIC1 다양체가 최대 체적 성장을 가지면 $ℝ^n$과 미분동형임을 증명하는 것.
• 약한 PIC1 다양체의 리치 흐름에 대해 초기 시간 간격에서 국소 곡률 하한을 확립하는 것.
• PIC1 조건과 초기 구에서의 체적 하한 조건 하에서 허위 국소성 유형 결과를 도출하는 것.
• 최대 체적 성장 조건이 약한 PIC1 다양체에서 리치 흐름의 장기 존재성을 보장함을 보이는 것.
• 지수 사상과 시간에 따라 매개변수화된 변형을 통해 $M$에서 $\mathbb{R}^n$으로의 전역 미분동형사를 구성하는 것.

제안 방법

• 최대 체적 성장 조건을 만족하는 완전한 약한 PIC1 다양체에 리치 흐름을 적용하고, 국소 곡률 추정을 통해 단기 존재성을 활용하는 것.
• 국소화된 최대 원리를 사용하여 곡률 하한을 도출하고, 리치 흐름 하에서 약한 PIC1 조건의 유지 보장을 보장하는 것.
• PIC1 조건과 초기 구에서 거의 유클리드 체적 조건을 가정하여, 허위 국소성 결과(정리 3.1)를 확립하는 것.
• 최대 체적 성장 조건이 리치 흐름의 장기 존재성을 보장하며, $|Rm|(t) \leq C_0/t$ 및 $\mathrm{inj}_{g(t)} \to \infty$ 를 만족함을 증명하는 것.
• 시간에 따라 매개변수화된 미분동형사를 사용하여 역지수 사상들을 변형시켜 $M$에서 $\mathbb{R}^n$으로의 미분동형사를 구성하는 것.
• 증가하는 단위 반경을 가지는 시간의 수열 $t_i$를 사용하여, 포함된 공들에서 일致하는 것을 유지하는 미분동형사를 귀납적으로 정의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 체적 성장을 가지는 약한 PIC1 다양체가 $\mathbb{R}^n$과 미분동형임을 보일 수 있는가?
• RQ2 완전한 약한 PIC1 다양체에서 리치 흐름의 장기 존재성을 보장하기 위해 필요한 곡률 추정은 무엇인가?
• RQ3 곡률 하한 대신 체적 하한 조건이 주어진 PIC1 조건 하에서 허위 국소성 유형 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ4 최대 체적 성장 조건이 리치 흐름 동안 단위 반경이 무한으로 갈라짐을 보장하는가?
• RQ5 이러한 곡률 및 체적 조건 하에서 지수 사상으로부터 $\mathbb{R}^n$으로의 전역 미분동형사를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 최대 체적 성장을 가지는 완전한 약한 PIC1 다양체는 $\mathbb{R}^n$과 미분동형이다.
• 이러한 다양체에서 리치 흐름은 모든 시간 동안 존재하며, 어떤 $C_0 > 0$ 에 대해 $|Rm|(t) \leq C_0/t$ 및 $\mathrm{inj}_{g(t)} \geq \sqrt{C_0 t}$ 를 만족한다.
• 국소화된 최대 원리를 사용하여 초기 시간 간격에서 국소 곡률 하한을 확립함으로써, 리치 흐름 하에서 약한 PIC1 조건의 유지 보장을 보장한다.
• 초기 구에서 거의 유클리드 체적과 PIC1 곡률의 하한 조건을 가정할 경우, 허위 국소성 유형 결과를 증명한다.
• 미분동형사의 구성은 포함된 공들에서 일致하는 것을 유지하는 시간에 따라 매개변수화된 미분동형사를 사용하여 역지수 사상들을 변형시키는 데 의존한다.
• 이전 연구에서 전역적으로 유계 곡률 조건을 가정하는 것을 국소 곡률 및 시간 슬라이스에서의 체적 조건으로 완화함으로써 결과를 개선한다.