[논문 리뷰] Integrals of products of Hurwitz zeta functions via Feynman parametrization and two double sums of Riemann zeta functions

M. A. Shpot, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 19.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 해석 continuation을 피하기 위해 파인먼 매개변수화를 사용하여 힐베르트 제타 함수의 곱을 포함하는 적분의 새로운 유도를 제시한다. $ I(a,b) $와 $ J(a,b) $에 대한 닫힌 형태의 평가를 수립하고, 리만 제타 함수를 포함하는 두 개의 무한 이重합을 유도하며, $ a+b $가 음의 정수 또는 0일 경우 명시적인 결과를 제공한다.

ABSTRACT

We consider two integrals over $x\in [0,1]$ involving products of the function $ζ_1(a,x)\equiv ζ(a,x)-x^{-a}$, where $ζ(a,x)$ is the Hurwitz zeta function, given by $$\int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,x)\,dx\quad\mbox{and}\quad \int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,1-x)\,dx$$ when $\Re (a,b)>1$. These integrals have been investigated recently in \cite{SCP}; here we provide an alternative derivation by application of Feynman parametrization. We also discuss a moment integral and the evaluation of two doubly infinite sums containing the Riemann zeta function $ζ(x)$ and two free parameters $a$ and $b$. The limiting forms of these sums when $a+b$ takes on integer values are considered.

연구 동기 및 목표

• 파인먼 매개변수화를 사용하여 보조 힐베르트 제타 함수 $ \zeta_1(a,x) $의 곱을 포함하는 적분에 대한 대체 유도를 제공한다.
• $ \Re(a,b) > 1 $ 인 경우 해석 계속을 활용하지 않고도 적분 $ I(a,b) = \int_0^1 \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,x)\,dx $와 $ J(a,b) = \int_0^1 \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,1-x)\,dx $를 평가한다.
• 모멘트 적분 $ H_n(a) = \int_0^1 x^n \zeta(a,x)\,dx $를 조사하고, 이를 통해 리만 제타 함수를 포함하는 두 개의 이중 무한 이중합을 평가한다.
• $ a+b $가 음의 정수 또는 0일 때 이러한 이중합의 극한 형태를 결정하여 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.

제안 방법

• 제곱근의 곱을 단일 적분으로 변환하기 위해 파인먼 매개변수화를 적용하여 $ \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,x) $와 $ \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,1-x) $의 평가를 단순화한다.
• 적분 표현식 $ \frac{1}{A^a C^b} = \frac{1}{B(a,b)} \int_0^1 \frac{w^{b-1}(1-w)^{a-1}}{[A + w(C-A)]^{a+b}}\,dw $를 사용하여 제타 함수 곱을 적분에 적합한 형태로 표현한다.
• 윌튼 공식 $ \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} \zeta(a+k,b) x^k = \zeta(a,b-x) $을 사용하여 급수 전개를 제타 함수와 연결한다.
• 베타 함수 $ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} $와 Pochhammer 기호의 성질을 활용하여 초함수 및 제타 함수 항을 단순화한다.
• 특수 매개변수 $ \epsilon $를 사용한 정규화를 통해 $ a+b $가 정수일 때의 특이점을 다루고, 이후 $ \epsilon \to 0 $으로의 극한을 취한다.
• 리만 제타 함수의 알려진 특수값, 예를 들어 $ \zeta(-2m) = 0 $ 및 $ \zeta(-2m-1) = -\frac{B_{2m+1}}{2m+1} $을 사용하여 음의 정수에서 이중합을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파인먼 매개변수화를 사용하여 해석 계속을 피하고 $ I(a,b) $와 $ J(a,b) $의 적분을 평가할 수 있는가?
• RQ2 $ a+b $가 음의 정수일 경우 이중합 $ S_2(a,b) = \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_j(b)_k}{j!k!(j+k+1)} \zeta(a+j)\zeta(b+k) $의 닫힌 형태 평가는 무엇인가?
• RQ3 $ a+b \to -2m $ 또는 $ -2m-1 $일 때 이중합의 극한 형태는 어떻게 행동하며, 정확한 값은 무엇인가?
• RQ4 이중합 평가에 있어 모멘트 적분 $ H_n(a) = \int_0^1 x^n \zeta(a,x)\,dx $의 역할은 무엇인가?
• RQ5 매개변수화 과정에서 나타나는 초함수는 $ \epsilon \to 0 $의 극한에서 단순화될 수 있는가?

주요 결과

• $ \Re(a,b) > 1 $ 인 경우 적분 $ I(a,b) $는 $ \frac{1}{a+b-1} + \left[ B(a+b-1,1-a) + B(a+b-1,1-b) \right] \zeta(a+b-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{(1-b)_{n+1}} (\zeta(a+n)-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(b)_n}{(1-a)_{n+1}} (\zeta(b+n)-1) $로 평가된다.
• $ \Re(a,b) > 1 $ 인 경우 적분 $ J(a,b) $는 $ B(1-a,1-b)(\zeta(a+b-1)-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{n!} \frac{\zeta(a+n)-1}{n+1-b} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(b)_n}{n!} \frac{\zeta(b+n)-1}{n+1-a} $로 주어진다.
• $ a+b = -2m $ 인 경우 이중합 $ S_2(a,b) $는 $ -\frac{\Gamma(1-a)\Gamma(2m+1+a)}{(2m+1)!} \cos\pi a \, \zeta(-2m-1) $로 평가되며, $ -2m-1 < \Re(a) < 1 $ 범위에서 유효하다.
• $ a+b = -2m-1 $ 인 경우 이중합 $ S_2(a,b) $는 $ \frac{2(a)_{2m+2}}{(2m+2)!} \zeta'(-2m-2) $로 평가되며, $ -2m-2 < \Re(a) < 1 $ 범위에서 유효하다.
• 특수 평가로 $ S_2(a,-a) = \frac{\pi a}{12} \cot \pi a $ ( $ -1 < \Re(a) < 1 $) 및 $ S_2(a,-1-a) = a(a+1)\zeta'(-2) = \frac{a(a+1)}{4\pi^2} \zeta(3) $ ( $ -2 < \Re(a) < 1 $) 가 성립한다.
• 모멘트 적분 $ H_n(a) $는 특히 $ a $가 $ 2 \leq m \leq n $ 인 양의 정수일 때 이중합 평가에 사용된다.