[논문 리뷰] Integration of singular foliations via paths

Joel Villatoro, Alfonso Garmendia|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 벡터장과 그 적분곡선으로 구성된 $φ$-경로의 동치류를 이용하여 특이 폴로노미아에 대한 기본군과 홀로노미 군의 개념을 경로 기반으로 제안한다. 이는 $φ$-호모토피에 대한 동치 관계를 통해 정의되며, 주요 기여는 앙드루리다키스-스카단리다스의 홀로노미 군의 개념을 복원하고, 리 대수다발의 크레인릭-페르난데스 적분과 유사한 함의론적 성질을 갖는 미분구조 군의 개념을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We give a new construction of the holonomy and fundamental groupoids of a singular foliation. In contrast with the existing construction of Androulidakis and Skandalis, our method proceeds by taking a quotient of an infinite dimensional space of paths. This strategy is a direct extension of the classical construction for regular foliations and mirrors the integration of Lie algebroids via paths (per Crainic and Fernandes). In this way, we obtain a characterization of the holonomy and fundamental groupoids of a singular foliation that more clearly reflects the homotopic character of these invariants. As an application of our work, we prove that the constructions of the fundamental and holonomy groupoid of a foliation have functorial properties.

연구 동기 및 목표

• 특이 폴로노미아에 대한 기본군과 홀로노미 군의 개념을 경로 기반, 호모토피에 기반한 방법으로 구축하는 것.
• 고전적이고 크레인릭-페르난데스 적분 방법과 유사한 구성을 제공하여, 불변량의 호모토피적 성질을 유지하는 것.
• 폴로노미아 다층다양체 간의 사상에 대해 기본군의 구성이 함의론적으로 유지되는지 확인하는 것.
• 홀로노미 군이 기본군의 몫임을 보여주어 고전적인 관계를 반영하는 것.
• 엽면별 기본군의 개념이 관련 리 대수다발의 근원-단순연결된 적분과 일치하는지 증명하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 폴로노미아 $φ$의 절단 $X(t)$와 그 적분곡선 $γ(t)$의 쌍 $(X(t), γ(t))$을 $φ$-경로로 정의한다.
• 경로의 호모토피를 특이 폴로노미아 환경으로 일반화한 $φ$-호모토피를 $φ$-경로 위의 동치관계로 도입한다.
• $φ$-경로의 공간을 $φ$-호모토피에 대한 동치류로 나누어 기본군 $\Pi_1(\mathcal{F})$를 구성한다.
• 전단면 간의 미분동형의 임시적 형태를 사용하여 홀로노미 등가관계를 정의하고, $φ$-경로의 공간을 이에 대해 몫으로 나누어 홀로노미 군 $\mathcal{H}(\mathcal{F})$를 정의한다.
• 무한차원 경로 공간과 특이 몫을 다룰 수 있도록 미분구조를 활용하여 매끄러운 군의 개념을 가능하게 한다.
• 기본군에서 홀로노미 군으로의 자연스러운 전성 사상이 존재함을 보이며, 이는 고전적인 두 군의 관계를 반영한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 폴로노미아의 기본군과 홀로노미 군은 크레인릭-페르난데스 적분과 유사한 경로-호모토피 기반의 방법으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 $φ$-호모토피 동치관계는 특이 폴로노미아의 엽의 홀로노미와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 폴로노미아 다층다양체 간의 사상에 대해 기본군의 구성이 함의론적으로 유지되는가?
• RQ4 제안된 경로 기반 구성은 앙드루리다키스-스카단리다스의 홀로노미 군의 구성과 미분동형인 미분구조 군의 개념을 제공하는가?
• RQ5 엽면별 기본군의 개념이 관련 리 대수다발의 근원-단순연결된 적분과 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• 기본군 $\Pi_1(\mathcal{F})$는 $φ$-경로의 공간을 $φ$-호모토피에 대한 동치류로 나누어 구성되며, 이는 미분구조 군의 개념을 형성한다.
• 홀로노미 군 $\mathcal{H}(\mathcal{F})$는 홀로노미 등가관계에 대한 $φ$-경로의 몫으로 구성되며, 앙드루리다키스-스카단리다스의 구성과 미분동형이다.
• 홀로노미 군은 기본군을 정규부분군으로 하는 몫군과 동형이다. 이 정규부분군은 홀로노미가 자명한 경로들을 식별하는 관계에 의해 정의된다.
• 기본군의 구성은 함의론적이다: 폴로노미아 다층다양체 간의 사상 $(F,f)$가 주어지면, 유도된 사상 $\Pi_1(F,f)$는 항등원을 유지한다.
• 각 엽 $L$에 대해, $\mathcal{F}$를 $L$에 제한한 기본군은 리 대수다발 $A_L \to L$의 근원-단순연결된 적분과 동형이다.
• 미분사상 $f$에 沿해 폴로노미아를 옮기면, 유도된 군의 사상이 기저와 당김의 경우로 분해되어, 이 분해를 통해 함의론적 성질의 증명이 가능해진다.