[논문 리뷰] Interacting time-fractional and $\Delta^{ u}$ PDEs systems via Brownian-time and Inverse-stable-L\'evy-time Brownian sheets

Hassan Allouba, Erkan Nane|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동 시간 브라운 시트(BTBS)와 역스테이블레비 시간 브라운 시트(ISLTBS) 사이에 새로운 확률적 연결을 수립하며, 시간 분수적 및 고차수 편미분방정식(PDE) 시스템과의 상호작용을 다룬다. 확률적 분석, 분수적 미적분학, 그리고 푸리에-라플라스 변환을 사용하여 분수적 PDE 시스템과 고차수 PDE 시스템 간의 조건부 동치성을 증명하며, 초기 자료의 공간 라플라스 연산자에 의해 기억 효과를 유지하는 해를 보여준다. 주요 기여는 다매개변수 확률 과정을 상호작용적이고 기억 효과를 지닌 결합된 PDE 시스템과 연결하는 통합 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Lately, many phenomena in both applied and abstract mathematics and related disciplines have been expressed in terms of high order and fractional PDEs. Recently, Allouba introduced the Brownian-time Brownian sheet (BTBS) and connected it to a new system of fourth order interacting PDEs. The interaction in this multiparameter BTBS-PDEs connection is novel, leads to an intimately-connected linear system variant of the celebrated Kuramoto-Sivashinsky PDE, and is not shared with its one-time-parameter counterpart. It also means that these PDEs systems are to be solved for a family of functions, a feature exhibited in well known fluids dynamics models. On the other hand, the memory-preserving interaction between the PDE solution and the initial data is common to both the single and the multi parameter Brownian-time PDEs. Here, we introduce a new---even in the one parameter case---proof that judiciously combines stochastic analysis with analysis and fractional calculus to simultaneously link BTBS to a new system of temporally half-derivative interacting PDEs as well as to the fourth order system proved earlier and differently by Allouba. We then introduce a general class of random fields we call inverse-stable-L\'evy-time Brownian sheets (ISLTBSs), and we link them to $\beta$-fractional-time-derivative systems of interacting PDEs for $0<\beta<1$. When $\beta=1/ u$, $ u\in\lbr2,3,... br$, our proof also connects an ISLTBS to a system of memory-preserving $ u$-Laplacian interacting PDEs. Memory is expressed via a sum of temporally-scaled $k$-Laplacians of the initial data, $k=1,..., u-1$. Using a Fourier-Laplace-transform-fractional-calculus approach, we give a conditional equivalence result that gives a necessary and sufficient condition for the equivalence between the fractional and the high order systems. In the one parameter case this condition automatically holds.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동 시간 브라운 시트(BTBS)와 시간 반도함수 및 네 번째 차수 상호작용 PDE 시스템 간의 새로운 확률적 연결을 수립하기.
• 역스테이블레비 시간 브라운 시트(ISLTBS)를 도입하고, 0 < β < 1 인 β-분수적 시간 도함수 시스템과의 연결을 맺기.
• 푸리에-라플라스 변환과 분수적 미적분학을 사용하여 고차수 PDE 시스템과 분수적 PDE 시스템 간의 조건부 동치성을 증명하기.
• 초기 자료 f와 그 도함수에 대한 유계성 조건을 완화하기 위해 적분 가능성과 성장 조건을 도입함으로써 유계성 조건을 초월한 결과 확장하기.
• 기억 효과가 초기 자료의 공간 라플라스 연산자인 k-라플라스 연산자(여기서 k = 1, ..., ν−1)에 의해 시간적으로 스케일링된 형태로 어떻게 표현되는지 보여주기.

제안 방법

• 이토의 법칙, 브라운 시트의 성질, 분수적 미적분학을 통합한 확률적 해석적 증명을 사용하여, 동시에 BTBS가 반도함수 및 네 번째 차수 상호작용 PDE 시스템과 연결되도록 한다.
• 각 시간 매개변수를 역스테이블레비 과정으로 대체함으로써 BTBS의 일반화로 ISLTBS를 도입한다.
• 푸리에-라플라스 변환-분수적 미적분학 접근법을 적용하여 고차수 PDE 시스템과 분수적 PDE 시스템 간의 조건부 동치성을 유도한다.
• 분수적 PDE 시스템과 고차수 PDE 시스템 간의 동치성에 필요한 필수 및 충분 조건을 유도하며, 이는 한 매개변수 경우에 자동으로 성립한다.
• 브라운 운동 시간 피카 공식을 사용하여, 시간이 절대 브라운 운동 또는 역스테이블레비 과정에 의해 변경된 브라운 경로 위에서의 기댓값으로 해를 표현한다.
• 초기 자료 f와 그 도함수에 대한 유계성 조건을 제거하기 위해, 브라운 시트 밀도 및 그 도함수를 포함하는 조건 (3.1)에 기반한 적분 가능성과 성장 조건을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동 시간 브라운 시트(BTBS)는 어떻게 시간 분수적 및 네 번째 차수 상호작용 PDE 시스템을 생성할 수 있는가?
• RQ2 BTBS 및 ISLTBS에 연결된 고차수 PDE 시스템과 분수적 PDE 시스템 간의 조건부 동치성 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 PDE 시스템의 해에서 기억 효과는 어떻게 나타나며, 초기 자료의 공간 라플라스 연산자에 의해 어떻게 표현되는가?
• RQ4 f와 그 도함수에 대한 유계성 조건을 유지하면서도 PDE 연결성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 역스테이블레비 과정은 어떻게 β-분수적 시간 도함수 시스템의 상호작용 PDE 시스템을 생성하는가?

주요 결과

• 논문은 한 매개변수 경우에서 새로운 확률적 해석적 연결을 BTBS와 시간 반도함수 상호작용 PDE 시스템 간에 증명하며, 이는 기존에 알려지지 않은 새로운 결과이다.
• BTBS 기반의 네 번째 차수 상호작용 PDE 시스템과 시간 분수적 상호작용 PDE 시스템 간의 조건부 동치성을 수립하며, 이 조건은 한 매개변수 설정에서 자동으로 만족된다.
• β = 1/ν, ν ∈ {2, 3, ...} 인 ISLTBS의 경우, 과정이 기억 효과를 시간적으로 스케일링된 초기 자료의 k-라플라스 연산자(여기서 k = 1, ..., ν−1)의 합을 통해 유지하는 ν-라플라스 연산자 상호작용 PDE 시스템과 연결된다.
• 분수적 PDE의 해 V(j)(t, x)는 ∂βtj V(j)(t, x) = 1/2 ∆x V(j)(t, x)를 만족하며, 이는 분수적 PDE 연결성을 확인한다.
• f와 그 도함수에 대한 유계성 조건은 적분 가능성과 성장 조건 (3.1)로 대체될 수 있으며, 이는 f가 다항식 성장성을 가지며 도함수가 허더 연속일 경우에 성립한다.
• 결과는 ν = 1/2(즉, β = 1/2)인 경우로 확장되며, 이 경우 브라운 시트 네 번째 차수 PDE 시스템을 약간의 밀도 커널 스케일링 조정을 통해 복원한다.