[논문 리뷰] Interpolation function of the genocchi type polynomials

Burak Kurt, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 10.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 27인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 세 개의 양의 실수 파라미터 a, b, c로 매개변수화된 새로운 유형의 Genocchi 다항식과 수를 소개하며, Lerch zeta 함수를 통해 생성 함수와 보간 함수를 구축한다. 주요 기여는 고전적 Genocchi 수를 일반화하고 특수 zeta 함수와 연결하는 보간 함수 유도이며, 교대 합과 함수 방정식에의 적용을 수반한다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to construct not only generating functions of the new approach Genocchi type numbers and polynomials but also interpolation function of these numbers and polynomials which are related to a, b, c arbitrary positive real parameters. We prove multiplication theorem of these polynomials. Furthermore, we give some identities and applications associated with these numbers, polynomials and their interpolation functions.

연구 동기 및 목표

• 세 개의 임의의 양의 실수 파라미터 a, b, c를 사용하여 새로운 유형의 Genocchi 수와 다항식을 정의하기.
• 이 일반화된 Genocchi 수와 다항식을 위한 생성 함수를 구성하기.
• Lerch zeta 함수를 사용하여 일반화된 Genocchi 수와 다항식의 보간 함수를 개발하기.
• 기능적 관계, 특히 곱셈 정리와 함께 이러한 수를 포함하는 항등식을 수립하기.
• 보간 함수가 알려진 특수 함수, 예를 들어 Hurwitz 및 Lerch zeta 함수와의 연결을 수립하고, 교대 zeta 함수(디리클레 에타 함수)와의 관계를 설명하기.

제안 방법

• Genocchi 유형 수의 생성 함수를 $ F(t;a,b) = \frac{2t}{b^t + a^t} = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{G}_n(a,b) \frac{t^n}{n!} $ 로 정의하며, $ |t| < \frac{\pi}{|\ln a - \ln b|} $ 에서 유효하다.
• Umbral 계산과 생성 함수를 이용하여 $ \mathcal{G}_n(a,b) $ 의 재귀 관계를 유도하며, a와 b의 로그 항을 포함한다.
• 닫힌 형태 표현식 $ \mathcal{G}_n(a,b) = (\ln b - \ln a)^{n-1} G_n\left( \frac{\ln a}{\ln a - \ln b} \right) $ 를 수립하여 고전적 Genocchi 다항식과 연결한다.
• 보간 함수 $ \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}(s,x;a,b,c) = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(x + n \ln c / \ln b)^s} $ 를 정의하며, 이는 Lerch zeta 함수를 일반화한다.
• 생성 함수에 대해 $ \frac{d^k}{dt^k} \big|_{t=0} $ 연산을 적용하여 보간 함수를 구성한다.
• 보간 함수와 알려진 특수 함수 간의 관계를 수립하며, Hurwitz zeta 함수, 디리클레 에타 함수, 다중로그 함수를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 개의 임의의 양의 실수 파라미터 a, b, c를 사용하여 Genocchi 유형 수와 다항식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이 일반화된 Genocchi 수의 보간 함수의 기능적 형태는 무엇이며, 특수 zeta 함수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 이 일반화된 다항식에 대해 성립하는 항등식과 기능적 방정식(예: 곱셈 정리)은 무엇인가?
• RQ4 보간 함수는 고전적 Lerch zeta 함수와 다른 특수 함수, 예를 들어 Hurwitz 및 디리클레 zeta 함수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 보간 함수를 사용하여 연속 정수의 거듭제곱의 교대 합을 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 보간 함수 $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;a,b,1) $ 가 양의 정수 n에 대해 $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(-n,1;a,b,1) = \frac{\mathcal{G}_n(a,b)}{n} $ 를 만족함을 보였다.
• 함수 $ \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}(s,x;1,e,e) $ 는 $ -2\Phi(-1,s,x) $ 로 식별되며, 이는 교대 zeta 함수(디리클레 에타 함수)와 연결된다.
• a=1, b=c=e 로 설정하면 보간 함수는 $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;1,e,e) = -2\zeta^*(s) $ 로 줄어들며, 이는 디리클레 에타 함수의 음수이다.
• 일반화된 Genocchi 다항식에 대해 곱셈 정리를 증명하였다. 이는 고전 결과를 일반화한다.
• 일반화된 Genocchi 수 $ \mathcal{G}_n(a,b) $ 는 $ \mathcal{G}_n(a,b) = (\ln b - \ln a)^{n-1} G_n\left( \frac{\ln a}{\ln a - \ln b} \right) $ 를 통해 고전적 Genocchi 수로 표현된다.
• 보간 함수가 원근의 단위의 합을 포함하는 기능적 방정식을 만족함을 보였으며, 이로부터 보조정리 16: $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;a,b,1) = \frac{1}{y^s} \sum_{j=1}^y (-1)^j \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}\left(s,1;a,b,\frac{b^{j/y}}{a^{(y+j-1)/y}}\right) $ 를 도출하였다. 여기서 y는 홀수 정수이다.