[논문 리뷰] $q$-Bernoulli Numbers and Polynomials Associated with Multiple $q$-Zeta Functions and Basic $L$-series

T. Kim, Yılmaz Şimşek외 1명|ArXiv.org|2005. 02. 01.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 33인용 수 173

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 $q$-제타 함수를 $q$-볼켄봄 통합과 $\mathbb{Z}_p$ 상의 균일 미분 가능성에 기반하여 구축하며, 이는 $q$-베르누이 수와 다항식을 보간한다. 기본 $L$-급수의 해석적 계속성을 확립하고, 음의 정수에서의 명시적 값을 도출하며, 멜린 변환과 생성 함수를 통해 바르누스 형식의 $q$-제타 함수와 디리클레 $L$-함수를 연결한다.

ABSTRACT

By using $q$-Volkenborn integration and uniform differentiable on $\mathbb{Z}%_{p}$, we construct $p$-adic $q$-zeta functions. These functions interpolate the $q$-Bernoulli numbers and polynomials. The value of $p$-adic $q$-zeta functions at negative integers are given explicitly. We also define new generating functions of $q$-Bernoulli numbers and polynomials. By using these functions, we prove analytic continuation of some basic (or $q$-) $L$% -series. These generating functions also interpolate Barnes' type Changhee $% q $-Bernoulli numbers with attached to Dirichlet character as well. By applying Mellin transformation, we obtain relations between Barnes' type $q$% -zeta function and new Barnes' type Changhee $q$-Bernolli numbers. Furthermore, we construct the Dirichlet type Changhee (or $q$-) $L$% -functions.

연구 동기 및 목표

• 특정 $q$-볼켄봄 통합을 통해 $q$-베르누이 수와 다항식을 보간하는 $p$-진 $q$-제타 함수를 개발하는 것.
• 새로운 $q$-베르누이 수의 생성 함수를 사용하여 기본(또는 $q$-) $L$-급수의 해석적 계속성을 제공하는 것.
• 멜린 변환을 통해 바르누스 형식의 $q$-제타 함수와 일반화된 $q$-베르누이 수 간의 관계를 수립하는 것.
• 창헤이 $q$-베르누이 수와 디리클레 특성에 관련된 디리클레 형식의 $L$-함수를 정의하는 것.
• $p$-진 측도와 $p$-진 통합 기법을 사용하여 고전적 제타 및 $L$-함수 이론을 $q$-해석으로 확장하는 것.

제안 방법

• $\mathbb{Z}_p$ 상에서의 $q$-볼켄봄 통합을 활용하여 $q$-베르누이 수를 보간하는 $p$-진 $q$-제타 함수를 정의한다.
• $\mathbb{Z}_p$ 상에서의 균일 미분 가능성 조건을 적용하여 구성된 $p$-진 $q$-제타 함수의 수렴성과 해석성을 보장한다.
• 기본 $L$-급수의 해석적 계속성을 가능하게 하기 위해 $q$-베르누이 수와 다항식의 새로운 생성 함수를 도입한다.
• 멜린 변환을 적용하여 바르누스 형식의 $q$-제타 함수와 디리클레 특성을 가진 일반화된 $q$-베르누이 수 간의 관계를 설정한다.
• 한계를 통한 $p^N$-진 전개에 대한 합의 극한을 이용하여 $p$-진 측도(예: 프로베니우스-바르누스 형식)를 정의하며, 유계성과 측도 성질을 보장한다.
• $p$-진 측도에 대한 특성의 $p$-진 통합을 통해 $p$-진 $L$-함수의 적분 표현을 유도하고, 이로부터 $L$-급수 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $q$-베르누이 수와 다항식을 보간하는 $p$-진 $q$-제타 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기본 $q$-L-급수의 해석적 계속성은 무엇이며, 새로운 생성 함수를 통해 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 바르누스 형식의 $q$-제타 함수와 디리클레 특성을 가진 일반화된 $q$-베르누이 수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 멜린 변환은 $p$-진 $q$-제타 함수가 $L$-급수와 음의 정수에서의 특수값에 어떻게 연결되는가?
• RQ5 $q$-해석의 프로베니우스-휴러 및 바르누스 형식 수에 대해 $p$-진 측도를 정의할 수 있으며, 이는 $L$-함수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $p$-진 $q$-제타 함수는 $q$-베르누이 수를 보간하며, $\zeta_r(-n,w,u\mid w_1,\dots,w_r) = \frac{u^r}{(u-1)^r} H_n^{(r)}(u,w\mid w_1,\dots,w_r)$ 관계를 통해 음의 정수에서 명시적으로 평가된다.
• 생성 함수 $F_{u,q}^{(r)}(t,x\mid w_1,\dots,w_r)$ 는 다중 $q$-제타 함수의 해석적 계속성을 가능하게 하며, $H_n^{(r)}(u,x\mid w_1,\dots,w_r)$ 와 연결한다.
• 디리클레 형식의 $L$-함수는 $q$-측도에 대한 디리클레 특성의 $p$-진 통합을 통해 구성되며, 계수로 $H_{n,\chi}^{(r)}(u\mid w_1,\dots,w_r)$ 를 갖는 $L$-급수를 도출한다.
• $p$-진 측도 $E_{u,w_1}^{(k)}$ 는 $|1-u|_p \geq 1$ 일 때 잘 정의되고 유계적이며, 적분의 수렴성과 $p$-진 $L$-함수 표현의 타당성을 보장한다.
• 생성 함수의 멜린 변환은 $\zeta_r(s,w,u\mid w_1,\dots,w_r) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-1-r} \frac{1}{(1-u)^r} F_{u,q}^{(r)}(-t,w\mid w_1,\dots,w_r) dt$ 를 유도하며, 해석적 계속성을 가능하게 한다.
• $\int_{\mathbb{Z}_p} \chi(x) dE_{u,w_1}^{(k)}(x) = \frac{1}{1-u^f} H_{k,\chi}^{(1)}(u\mid w_1)$ 의 관계는 $p$-진 $L$-함수와 특성을 가진 일반화된 $q$-베르누이 수 간의 직접적인 연결을 수립한다.