[논문 리뷰] Introduction to Bimatrices

W. B. Vasantha Kandasamy, Florentín Smarandache외 1명|ArXiv.org|2005. 06. 21.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 38인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 다중 전문가 의사결정 문제에서 불확실성과 모호성을 다룰 수 있는 새로운 수학적 프레임워크로, 두 개의 서로 다른 행렬 A1과 A2의 합집합인 바이매트릭스(bimatrices)를 제안한다. 바이매트릭스 이론을 확장함으로써, 이중 고유값(bieigenvalues), 이중 고유벡터(bieigenvectors), 특성 이항다항식(Characteristic bipolynomials), 이중변환(bitransformations) 등의 개념을 개발하여, 기존의 행렬 이론이 다이나믹하고 충돌하는 전문가 의견을 다루는 데 한계를 보이는 퍼지 논리 및 넉스포픽 논리 시스템에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Generally any real-world problem is not always solvable, because in that not only a percentage of uncertainty is present, but also, a certain percentage of indeterminacy is present. The presence of uncertainty has been analyzed using fuzzy logic. In this book the amount of indeterminacy is being analyzed using neutrosophic logic. Most of these models use the concept of matrices. Matrices have certain limitation; when the models are time-dependent and any two experts' opinions are being studied simultaneously, one cannot compare both of them at each stage. The new concept of bimatrices would certainly cater to these needs. A bimatrix AB = A1 U A2, where A1 and A2 are distinct matrices of arbitrary order. This book introduces the concept of bimatrices, and studies several notions like bieigen values, bieigen vectors, characteristic bipolynomials, bitransformations, bioperators and bidiagonalization. Further, we introduce and explore the concepts like fuzzy bimatrices, neutrosophic bimatrices and fuzzy neutrosophic bimatrices, which will find its application in fuzzy and neutrosophic logic.

연구 동기 및 목표

• 기존의 행렬 이론이 시간에 따라 변화하는 다중 전문가 의사결정 문제에서 불확실성과 모호성을 다루는 데 한계를 보이는 데 대비하여 이를 해결하고자 한다.
• 충돌하거나 변화하는 전문가 의견을 동시에 표현하고 분석할 수 있는 새로운 대수적 프레임워크인 바이매트릭스를 개발하고자 한다.
• 행렬 이론을 확장하여 다이나믹 시스템에 적합한 이중 고유값, 이중 고유벡터, 특성 이항다항식을 도입하고자 한다.
• 퍼지 바이매트릭스, 넉스포픽 바이매트릭스, 퍼지 넉스포픽 바이매트릭스를 통해 퍼지 및 넉스포픽 논리를 행렬 구조에 통합하고자 한다.
• 기본 행렬 이론의 범위를 초월하여, 불확실한 조건에서의 의사결정, 시스템 분석, 불확실성 모델링에 이론적 기반을 제공하고자 한다.

제안 방법

• 임의의 차수를 가진 두 개의 서로 다른 행렬 A1과 A2의 합집합으로서 바이매트릭스를 정의하며, 이를 AB = A1 ∪ A2로 표기한다.
• 두 구성 요소 행렬 A1과 A2에 대한 일반화된 고유값 문제를 통해 이중 고유값과 이중 고유벡터의 개념을 도입한다.
• 바이매트릭스 표현식에서 유도된 행렬식을 기반으로 특성 이항다항식을 형식적 다항식으로서 개발한다.
• 표준 선형 변환을 바이매트릭스 맥락으로 확장하여, 바이매트릭스에 작용하는 선형 변환으로서 이중변환(bitransformations)을 정의한다.
• A1과 A2 간의 구조적 및 대수적 성질을 유지하는 연산으로서 바이연산자(bioperators)를 도입한다.
• 행렬 대각화와 유사하게 분석에 적합한 형태로 바이매트릭스를 단순화하는 방법으로 이중대각화(bidiagonalization)를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 이론은 어떻게 시간에 따라 변화하는 충돌하는 전문가 의견을 가진 시스템을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 기존의 행렬에서는 나타나지 않는 바이매트릭스에서 나타나는 대수적 구조와 불변량(예: 고유값, 다항식)은 무엇인가?
• RQ3 바이매트릭스는 불확실성과 모호성을 동시에 가진 시스템을 어떻게 표현하고 분석할 수 있는가?
• RQ4 기본 행렬 연산(예: 대각화, 변환 등)의 바이매트릭스 프레임워크 내에서의 대응체는 무엇인가?
• RQ5 퍼지 및 넉스포픽 논리는 어떻게 바이매트릭스 이론에 통합되어 정확하지 않거나 모호한 데이터를 가진 현실 세계의 의사결정 문제를 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 두 구성 행렬 A1과 A2에 대한 일반화된 고유값 문제의 해로서 이중 고유값과 이중 고유벡터를 성공적으로 정의한다.
• 특성 이항다항식은 바이매트릭스의 행렬식에서 유도된 형식적 다항식 표현으로서, 바이매트릭스 시스템의 스펙트럼 분석을 가능하게 한다.
• 이중변환은 바이매트릭스에 작용하는 선형 변환으로서 구조적 통합성을 유지하며, 다이나믹 시스템 모델링에 기여한다.
• 이중대각화는 행렬 대각화와 유사하게 바이매트릭스를 더 단순한 형태로 줄이는 방법으로 제안되어 향후 분석을 용이하게 한다.
• 퍼지 바이매트릭스, 넉스포픽 바이매트릭스, 퍼지 넉스포픽 바이매트릭스가 불확실성과 모호성을 가진 시스템을 모델링하기 위한 확장으로 도입된다.
• 이 프레임워크는 전통적인 행렬 이론의 범위를 초월하여 복잡하고 다중 소스의 시간 변화가 있는 의사결정 문제를 모델링하기 위한 이론적 기반을 제공한다.