[논문 리뷰] Invariance principle and rigidity of high entropy measures

Ali Tahzibi, Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 동역계에서 불변성 원리에 대한 새로운 엔트로피 기반 기준을 수립하며, 중심 리아풀로프 지수의 값이 0인 불변 측도에 대한 기존 결과의 단순화된 증명을 제시한다. 또한 $C^2$ 부분적으로 초구형 미분구상에서 중심 리브라션의 한계가 일차원이고 컴팩트한 경우, 높은 엔트로피를 가진 에르고딕 측도가 존재하면 시스템은 로테이션 유형이어야 하며, 이는 아노소프 미분구상의 등거리 확장과 동형이 되므로, 이러한 시스템에 대한 강성 결과를 확립한다.

ABSTRACT

A deep analysis of the Lyapunov exponents, for stationary sequence of matrices going back to Furstenberg, for more general linear cocycles by Ledrappier and generalized to the context of non-linear cocycles by Avila and Viana, gives an invariance principle for invariant measures with vanishing central exponents. In this paper, we give a new criterium formulated in terms of entropy for the invariance principle and in particular, obtain a simpler proof for some of the known invariance principle results. As a byproduct, we study ergodic measures of partially hyperbolic diffeomorphisms whose center foliation is 1-dimensional and forms a circle bundle. We show that for any such C2 diffeomorphism which is accessible, weak hyperbolicity of ergodic measures of high entropy implies that the system itself is of rotation type.

연구 동기 및 목표

• 동역계에서 불변성 원리에 대한 새로운 엔트로피 기반 기준을 수립하는 것.
• 중심 리아풀로프 지수의 값이 0인 측도에 대한 불변성 원리의 단순화된 증명을 제공하는 것.
• 일차원 컴팩트 중심 리브라션을 가진 부분적으로 초구형 미분구상에서 높은 엔트로피를 가진 에르고딕 측도의 강성 성질을 조사하는 것.
• 이러한 시스템이 로테이션 유형이 되는 조건을 확립하는 것, 즉 아노소프 미분구상의 등거리 확장과 동형이 되는 것.

제안 방법

• 저자들은 확장 리브라션을 따라 측도 엔트로피를 기반으로 한 새로운 불변성 원리 기준을 도입하여 이전의 리아풀로프 지수 기반 수식을 대체한다.
• 불안정 리브라션을 따라의 엔트로피 $h_{\nu}(f, \tilde{\nu})$를 사용하고, 변동 원리에 의해 위상 엔트로피와 관련지운다.
• 한계 측도를 분석하기 위해, 분할 수렴과 조건부 분할을 따라의 엔트로피를 포함하는 가측 도구 상자를 개발한다.
• 불변 측도 $\mu_n$ 이론이 한계 $\mu_0$로 수렴하는 것을 이용하고, 엔트로피 연속성과 분할 정밀화 기법을 활용하여 증명한다.
• 레드라프리어-양 이론과 페신의 공식을 적용하여 측도 엔트로피와 리아풀로프 지수를 연결한다.
• 높은 엔트로피 측도가 존재하고 중심 지수가 0이면, 중심 지수의 범위에 기반한 모순을 이용하여 시스템이 로테이션 유형이어야 한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중심 리아풀로프 지수가 0인 불변 측도에 대해 불변성 원리가 어떤 엔트로피 조건에서 성립하는가?
• RQ2 리아풀로프 지수 대신 엔트로피를 사용하여 불변성 원리를 재증명할 수 있는가?
• RQ3 에르고딕 측도가 높은 엔트로피를 가질 경우, 일차원 컴팩트 중심 리브라션을 가진 부분적으로 초구형 미분구상에서 나타나는 강성 성질은 무엇인가?
• RQ4 높은 엔트로피 측도가 중심 지수를 0으로 가지는 것이 시스템이 로테이션 유형임을 결론짓는 데 충분한가?
• RQ5 시스템이 로테이션 유형이 아닐 경우, 깁스 $u$-측도 집합의 구조는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 불변성 원리에 대한 새로운 엔트로피 기반 기준이 확립되어 이전에 알려진 결과의 증명이 단순화되었다.
• $C^2$ 부분적으로 초구형 미분구상에서 중심 리브라션이 일차원이고 컴팩트한 경우, 만약 에르고딕 측도가 높은 엔트로피를 가진다면 시스템은 로테이션 유형이어야 한다.
• 시스템이 로테이션 유형이 아니면, 깁스 $u$-측도 집합 $\operatorname{Gibb}^{u}_{\nu}(f)$ 는 측도 $\mu^{-}_1, \dots, \mu^{-}_{k(-)}$ 의 볼록 조합 집합과 일치한다.
• 에르고딕 측도의 수열 $\mu_n$ 이 위상 엔트로피에 수렴하고 중심 지수가 0으로 수렴하면, 한계 측도는 비영인 중심 지수를 가져야 하므로 모순이 발생한다.
• 위상 엔트로피 $h_{\text{top}}(f)$ 는 중심 사상의 엔트로피 $h_{\nu}(f_c)$ 와 같으며, 이 등식은 강성 결과의 핵심이다.
• 모든 높은 엔트로피 에르고딕 측도가 중심 지수를 0에서 일정하게 떨어져 있을 경우에만, 시스템은 아노소프 미분구상의 등거리 확장과 동형이 된다.