[논문 리뷰] Invariant measures and Euler-Maruyama's approximations of state-dependent regime-switching diffusions

Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상태에 의존하는 전환 확산 과정에서 불변 측도의 존재성과 유일성을 보장하기 위한 조건을 제시하며, 제어용 마코프 체인을 구성하여 강한 $L^1$-노름 수렴을 증명하고 오차 순서 $O(\delta^{1/2})$를 확보한다. 분석은 연속적이고 이산적인 성분 간의 복잡한 상호작용을 다루기 위해 정교한 스토로코호드 표현과 커플링 기법을 활용한다.

ABSTRACT

Regime-switching processes contain two components: continuous component and discrete component, which can be used to describe a continuous dynamical system in a random environment. Such processes have many different properties than general diffusion processes, and much more difficulties are needed to be overcome due to the intensive interaction between continuous and discrete component. We give conditions for the existence and uniqueness of invariant measures for state-dependent regime-switching diffusion processes by constructing a new Markov chain to control the evolution of the state-dependent switching process. We also establish the strong convergence in the $L^1$-norm of the Euler-Maruyama's approximation and estimate the order of error. A refined application of Skorokhod's representation of jumping processes plays a substantial role in this work.

연구 동기 및 목표

• 상태에 의존하는 전환 확산 과정(RSDPs)에서 불변 측도의 존재성과 유일성을 보장하기 위한 충분조건을 확립하는 것.
• 상태에 의존하는 전환을 갖는 RSDPs에 대한 옐러-마루야마 스킴의 수렴 성질을 분석하는 것.
• 연속적인 확산 성분과 이산적인 마코프 전환 성분 간의 강한 상호작용으로 인해 발생하는 과제를 극복하는 것.
• 기존의 상태 독립적 RSDPs에 대한 불변 측도와 수치 근사 결과를 상태 의존적 RSDPs로 확장하는 것.

제안 방법

• 상태에 의존하는 전환 과정의 진동과 장기적 행동을 분석하기 위해 새로운 마코프 체인을 구성하는 것.
• 전이 과정의 불연속적 역동성을 다루기 위해 스토로코호드의 점프 과정 표현을 적용하는 것.
• 진짜 과정과 그 옐러-마루야마 근사의 경로를 비교하기 위해 성공적인 커플링 기법을 사용하는 것.
• 모멘트 추정과 함께 그론발의 부등식을 활용하여 진짜 과정과 근사 과정 간의 $L^1$-노름 차이를 유계화하는 것.
• 정규성과 안정성을 보장하기 위해 기울기, 확산 및 전이 비율에 대해 조건 (Q1)-(Q3), (A1)-(A2), (H1)-(H2)를 도입하는 것.
• 상태, 제도, 시간 이산화 오차 성분으로 분해하여 오차 한계를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태에 의존하는 전환 확산 과정이 고유한 불변 측도를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 과정에 대해 옐러-마루야마 스킴의 $L^1$-노름 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ3 연속적인 확산과 이산적인 전환 성분 간의 상호작용을 효과적으로 제어하여 에르고딕성과 수치적 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ4 경로 기반의 차이를 다룰 수 있도록 커플링 방법을 개선할 수 있는가? 특히 상태에 의존하는 전환 비율을 갖는 과정에 대해서는?
• RQ5 스토로코호드의 표현은 근사 스킴 수렴 분석에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 적절한 포스터-리아푸노프 유형 조건과 구성된 제어 마코프 체인에 기반하여 상태에 의존하는 RSDPs에 대한 불변 측도의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 옐러-마루야마 근사는 진짜 과정과 $L^1$-노름에서 수렴하며, 오차 한계가 $O(\delta^{1/2})$의 순서를 갖는다. 여기서 $\delta$는 시간 단계이다.
• 수렴 속도는 경로 기반 커플링 추론과 모멘트 추정을 통해 도출되었으며, 기울기와 확산 계수의 유계성에 기반한다.
• 분석 결과, 유한 시간 구간 내에서 진짜 과정과 근사 과정 간의 제도 불일치 확률이 $O(\delta^{1/2})$의 속도로 감소함을 보여준다.
• 상태에 의존하는 전이 비율을 통해 전환 강도를 제어함으로써 비마코프 성격을 갖는 전환 과정을 효과적으로 다룰 수 있었다.
• 결과적으로 상태 독립적 경우를 초월하여 RSDPs에 대한 수치 방법 이론 기반을 확장하였으며, 금융, 생물학 및 공학 분야에서의 광범위한 응용 가능성을 열어 놓았다.