[논문 리뷰] Invariant measures for stochastic functional differential equations with superlinear drift term

Abdelhadi Es–Sarhir, Onno van Gaans외 1명|ArXiv.org|2009. 03. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초선형의 비율을 가진 확률적 함수 미분 방정식(SFDEs)에 대해, 분할 과정의 코어성과 페러셀 성질을 증명함으로써 초선형의 비율을 가진 드리프트와 임의의 리프시츠 계수를 가진 분산 계수를 가진 경우의 불변 측도 존재성을 확립한다. 리아푸노프 함수, 코모고로프의 기준, 단조성 논증을 통해, 드리프트의 산산각 조건과 성장 조건이 만족될 경우, 분산 계수의 유계성 또는 소형성 가정 없이도 분할 과정이 불변 측도를 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a stochastic functional differential equation with an arbitrary Lipschitz diffusion coefficient depending on the past. The drift part contains a term with superlinear growth and satisfying a dissipativity condition. We prove tightness and Feller property of the segment process to show existence of an invariant measure.

연구 동기 및 목표

• 초선형 드리프트와 일반 리프시츠 분산 계수를 가진 확률적 함수 미분 방정식(SFDEs)에 대한 불변 측도 존재성을 확립하는 것.
• 이전 결과에서 요구하던 분산 계수의 유계성 또는 소형성 조건을 제거하기 위해 초선형 드리프트 항을 도입함으로써 그 제한을 극복하는 것.
• 무한차원 공간 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$에서의 분할 과정의 코어성을 증명하는 것. 이는 결정론적 경우에서의 컴팩트성 부재로 인해 비틀림이 있는 비현실적인 문제이다.
• 분할 과정의 페러셀 성질을 증명함으로써, 불변 측도 존재성에 대한 크릴로프-보골리우보브 정리의 적용을 가능하게 하는 것.
• 분산 계수의 유계성 조건을 완화하고, 그 리프시츠 상수에 대한 제약 조건을 완화함으로써 기존 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 해의 분할 과정 $x_t(\theta) = x(t+\theta)$, $\theta \in [-r,0]$을 통해 SFDE를 기술하며, 이는 바나흐 공간 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$에서 진화한다.
• 리아푸노프 함수 기법을 사용하여 분할 과정의 확률적 유계성을 확보함으로써, 무한차원 상태공간에서도 코어성을 확보한다.
• 이토 적분 부분에 대해 코모고로프의 기준을 적용하여 표본 경로의 진동을 제어하고, 노이즈 성분의 코어성을 확보한다.
• 드리프트의 산산각 조건에 기반한 단조성 논증을 활용하여 분할 과정의 페러셀 성질을 증명한다.
• 코어성과 페러셀 성질을 조합하여 크릴로프-보골리우보브 정리를 적용함으로써 불변 측도 존재성을 도출한다.
• 가정 $\mathbf{(H_0)}$, $\mathbf{(H_1)}$, 및 $\mathbf{(H_2)}$가 불변 측도 존재성에 충분함을 검증하며, 이는 $h$가 퇴화된 경우에도 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 드리프트와 임의의 리프시츠 분산 계수를 가진 확률적 함수 미분 방정식이 어떤 조건에서 불변 측도를 가질 수 있는가?
• RQ2 결정론적 흐름의 컴팩트성 조건을 가정하지 않고, 무한차원 공간 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$에서 분할 과정의 코어성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 분산 계수가 무한하거나 퇴화된 경우, 분할 과정의 페러셀 성질을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ4 SFDE의 불변 측도 존재 이론에서 분산 계수의 리프시츠 상수를 어느 정도까지 완화시킬 수 있는가?
• RQ5 드리프트의 산산각 조건을 약화시켜도 여전히 불변 측도 존재성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 분산 계수의 유계성 또는 소형성 가정 없이도, SFDE의 해와 관련된 분할 과정은 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$에서 코어성을 가진다.
• 분할 과정은 페러셀 성질을 만족하며, 이는 단조성 논증과 수렴하는 초기 조건을 가진 해들의 $L^4$ 수렴에 기반한다.
• 가정 $\mathbf{(H_0)}$, $\mathbf{(H_1)}$, 및 $\mathbf{(H_2)}$ 하에서, 크릴로프-보골리우보브 정리에 의해 분할 과정에 대한 불변 측도 존재가 보장된다.
• 분산 계수 $h$가 퇴화된 경우에도 존재 결과가 성립하며, 이 경우 불변 측도의 유일성은 보장되지 않는다.
• 산산각 조건 $\lim_{|v|\to\infty} \frac{\langle f(v),v\rangle}{|v|^2} = -\infty$는 $\limsup_{|v|\to\infty} \frac{\langle f(v),v\rangle}{|v|^2} < -\lambda$로 약화될 수 있으며, 이때 $\lambda$는 $L$, $r$, 및 $h(0)$에 따라 결정된다.
• 이 증명 기법은 초선형 드리프트와 리프시츠 계수를 가진 일반 SFDE 클래스에 대해 강건하며, 이전 결과에서 요구하던 소형 분산 또는 유계성 조건을 완화한 결과를 확장한다.